Encontre a transformada de Laplace inversa de cada uma das funções dadas:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se a transformada de Laplace inversa da função racional
- Informação útil imediata: é uma função racional em
(fração de polinômios). Normalmente invertimos esse tipo de função usando decomposição em frações parciais e as tabelas básicas de transformada de Laplace (por exemplo, ). - Não há outras incógnitas: só precisamos encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Estratégia de resolução (o que vamos fazer):
- Eliminar frações internas para simplificar a álgebra (multiplicar numerador e denominador por
). - Fatorar o denominador quadrático quando possível.
- Fazer decomposição em frações parciais.
- Usar a tabela básica
e linearidade para obter . - Vou explicar cada passo devagarinho para você conseguir reproduzir algo parecido na prova.
Passo 3
Eliminar a fração no denominador multiplicando numerador e denominador por
:
(Observe que multiplicar cima e baixo por
não altera a função.)
Passo 4
Fatorar o denominador quadrático
.
Primeiro escrevendo como quadrado completado:
Isto é uma diferença de quadrados:
Voltando para
:
Passo 5
Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Agrupando termos em
:
Comparando coeficientes de
e termo constante:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
.
Assim a decomposição é
Passo 6
Reescrever o termo obtido de forma que possamos usar a tabela de transformada inversa:
Usando a propriedade básica da transformada de Laplace inversa:
com
, obtemos
Portanto a transformada de Laplace inversa procurada é
(para
).
Passo 7
Verificação rápida (confirmação): aplicar a transformada direta em
dá
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 3, portanto está consistente.