Encontre a transformada de Laplace inversa de cada uma das funções dadas:
\frac{1-2 s}{2 s^{2}+4 s-\frac{5}{2}};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a transformada de Laplace inversa da função racional
\frac{1-2 s}{2 s^{2}+4 s-\tfrac{5}{2}}.
  • Informação útil imediata: é uma função racional em s (fração de polinômios). Normalmente invertimos esse tipo de função usando decomposição em frações parciais e as tabelas básicas de transformada de Laplace (por exemplo, \mathcal{L}^{-1}\!\{1/(s+a)\}=e^{-a t}).
  • Não há outras incógnitas: só precisamos encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1-2 s}{2 s^{2}+4 s-\tfrac{5}{2}}.

Passo 2

Estratégia de resolução (o que vamos fazer):
  • Eliminar frações internas para simplificar a álgebra (multiplicar numerador e denominador por 2).
  • Fatorar o denominador quadrático quando possível.
  • Fazer decomposição em frações parciais.
  • Usar a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t} e linearidade para obter f(t).
  • Vou explicar cada passo devagarinho para você conseguir reproduzir algo parecido na prova.

Passo 3

Eliminar a fração no denominador multiplicando numerador e denominador por 2:
\frac{1-2 s}{2 s^{2}+4 s-\tfrac{5}{2}} = \frac{2(1-2 s)}{2\bigl(2 s^{2}+4 s-\tfrac{5}{2}\bigr)} = \frac{2-4 s}{4 s^{2}+8 s-5}.
(Observe que multiplicar cima e baixo por 2 não altera a função.)

Passo 4

Fatorar o denominador quadrático 4 s^{2}+8 s-5.
Primeiro escrevendo como quadrado completado:
4 s^{2}+8 s-5 = 4\bigl(s^{2}+2s\bigr)-5 = 4\bigl((s+1)^{2}-1\bigr)-5 = 4(s+1)^{2}-9.
Isto é uma diferença de quadrados:
4(s+1)^{2}-9 = \bigl(2(s+1)-3\bigr)\bigl(2(s+1)+3\bigr).
Voltando para s:
4 s^{2}+8 s-5 = (2s-1)(2s+5).

Passo 5

Fazer a decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{2-4 s}{(2s-1)(2s+5)}=\frac{A}{2s-1}+\frac{B}{2s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (2s-1)(2s+5)\) obtemos a identidade em \(s\): \[2-4s = A(2s+5)+B(2s-1).
Agrupando termos em s:
2-4s = 2s(A+B) + (5A - B).
Comparando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} -4 = 2(A+B)\\[4pt] 2 = 5A - B \end{cases}
Da primeira equação A+B=-2\], então \(B=-2-A. Substituindo na segunda:
2 = 5A - (-2-A) = 5A +2 + A = 6A+2 \quad\Rightarrow\quad 6A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Logo B=-2.
Assim a decomposição é
\frac{2-4 s}{(2s-1)(2s+5)}=\frac{0}{2s-1}+\frac{-2}{2s+5}=-\frac{2}{2s+5}.]

Passo 6

Reescrever o termo obtido de forma que possamos usar a tabela de transformada inversa:
-\frac{2}{2s+5} = -\frac{2}{2\bigl(s+\tfrac{5}{2}\bigr)} = -\frac{1}{s+\tfrac{5}{2}}.
Usando a propriedade básica da transformada de Laplace inversa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}\quad(\text{para } t\ge 0),
com a=\tfrac{5}{2}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{s+\tfrac{5}{2}}\right\} = -e^{-\tfrac{5}{2}t}.
Portanto a transformada de Laplace inversa procurada é -e^{-\tfrac{5}{2}t} (para t\ge 0).

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): aplicar a transformada direta em -e^{-\tfrac{5}{2}t}
\mathcal{L}\{-e^{-\tfrac{5}{2}t}\} = -\frac{1}{s+\tfrac{5}{2}} = -\frac{2}{2s+5} = \frac{2-4s}{4s^{2}+8s-5},
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 3, portanto está consistente.

Resposta

-e^{-\tfrac{5}{2}t}

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