11- Determine o valor da constante A para a função de onda \psi_{n}=A \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right), a qual descreve uma partícula livre restrita a se movimentar dentro de um poço de otencial infinito unidimensional que se estende de x=0 até x=L.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor da constante A da função de onda
que descreve uma partícula confinada num poço infinito unidimensional que vai de x=0 até x=L. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
A forma da função de onda é \psi_{n}(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right).
O domínio espacial é 0\le x\le L.
n é o número quântico (um inteiro positivo).
A pergunta explícita: encontrar o valor da constante A que torna \psi_n corretamente normalizada.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: normalização de função de onda. Em mecânica quântica, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Para uma função de onda unidimensional real ou complexa \psi(x) isso significa:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Como a partícula está confinada ao poço entre x=0 e x=L e a função de onda fora desse intervalo é zero, a condição de normalização fica:
\int_{0}^{L} |\psi_{n}(x)|^{2}\,dx = 1.
Substituindo \psi_{n}(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) obtemos a equação que iremos resolver para A: