11- Determine o valor da constante A para a função de onda \psi_{n}=A \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right), a qual descreve uma partícula livre restrita a se movimentar dentro de um poço de otencial infinito unidimensional que se estende de x=0 até x=L.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da constante A da função de onda
\psi_{n}(x)=A\cdot \sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),
que descreve uma partícula confinada num poço infinito unidimensional que vai de x=0 até x=L. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • A forma da função de onda é \psi_{n}(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right).
  • O domínio espacial é 0\le x\le L.
  • n é o número quântico (um inteiro positivo).
    A pergunta explícita: encontrar o valor da constante A que torna \psi_n corretamente normalizada.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: normalização de função de onda. Em mecânica quântica, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Para uma função de onda unidimensional real ou complexa \psi(x) isso significa:
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Como a partícula está confinada ao poço entre x=0 e x=L e a função de onda fora desse intervalo é zero, a condição de normalização fica:
\int_{0}^{L} |\psi_{n}(x)|^{2}\,dx = 1.
Substituindo \psi_{n}(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) obtemos a equação que iremos resolver para A:
\int_{0}^{L} \left|A\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right|^{2}\,dx = 1.

Passo 3

Simplificando a integral: como A pode ser escolhido real (a norma só depende de |A|^{2}), temos
\int_{0}^{L} A^{2}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx = 1.
Colocando A^{2} fora da integral:
A^{2}\int_{0}^{L} \sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx = 1.
Agora precisamos calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{L} \sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx.

Passo 4

Para integrar \sin^{2} usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\dfrac{n\pi}{L}x obtemos
\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right) = \frac{1}{2}\Bigl[1-\cos\!\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)\Bigr].
Então a integral torna-se
\int_{0}^{L} \sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{L} 1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{L} \cos\!\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)\,dx.
Calcule cada termo:
  • \displaystyle \int_{0}^{L} 1\,dx = L.
  • Para a segunda integral, fazemos a primitiva de \cos\!\left(\dfrac{2n\pi}{L}x\right):
\int \cos\!\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)\,dx = \frac{L}{2n\pi}\sin\!\left(\frac{2n\pi}{L}x\right).
Avaliando de 0 a L:
\left.\frac{L}{2n\pi}\sin\!\left(\frac{2n\pi}{L}x\right)\right|_{0}^{L} = \frac{L}{2n\pi}\bigl(\sin(2n\pi)-\sin 0\bigr)=\frac{L}{2n\pi}(0-0)=0,
pois \sin(2n\pi)=0 para todo inteiro n.
Portanto
\int_{0}^{L} \sin^{2}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx = \frac{1}{2}L - \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{L}{2}.

Passo 5

Voltando à condição de normalização:
A^{2}\cdot \frac{L}{2} = 1.
Isolando A^{2}:
A^{2} = \frac{2}{L}.
Tomando a raiz quadrada, obtemos
A = \sqrt{\frac{2}{L}} \quad\text{ou}\quad A = -\sqrt{\frac{2}{L}}.
Como o fator de fase global (sinal) não altera probabilidades, é comum escolher A real e positivo por convenção. Assim:
A = \sqrt{\frac{2}{L}}.

Resposta

\displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{L}}

Exercícios relacionados