12- Considerando a seguinte auto função \Psi(x, t)=A \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \exp \left(-i^{2}-\frac{1}{2} t\right) correspondente ao estado fundamental de uma partícula livre (V(x)=0) movendose restritamente no eixo x, dentro de uma região de comprimento a : (a) determine a constante de normalização A; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dentuo de uma região medindo a / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a autofunção
\Psi(x,t)=A\cdot \cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\cdot \exp\!\left(-i^{2}-\frac{1}{2}t\right),
uma partícula restrita a uma região de comprimento a. O que é pedido:
  • (a) determinar a constante de normalização A;
  • (b) calcular a probabilidade de encontrá-la dentro de uma região medindo a/3.
Observações e hipóteses que vou usar (não vou pedir nada a mais, apenas fixar interpretações necessárias):
  • A função espacial \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) tem zeros em x=\pm a/2, portanto a interpretação natural da região de comprimento a é o intervalo \left[-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right]. Adoto esse intervalo como a região onde a partícula está confinada.
  • O fator temporal está escrito de forma estranha ( \exp(-i^{2}-\tfrac{1}{2}t)); tipicamente a dependência temporal física é um fator de fase de módulo unitário \exp(-iEt/\hbar). Para que a normalização seja independente do tempo (o que é o caso usual de autoestados de energia), assumirei que o fator temporal tem módulo 1. Com isso a normalização depende só da parte espacial A\cos(\pi x/a). Se o fator temporal fosse real e decrescente, a normalização seria dependente do tempo; contudo a prática física mais comum é a hipótese anterior.
  • Para a parte (b) o enunciado não especifica onde fica a sub-região de comprimento a/3. Vou assumir que essa sub-região é central e simétrica em torno de x=0, ou seja o intervalo \left[-\dfrac{a}{6},\dfrac{a}{6}\right]. Essa é a hipótese mais natural quando se pede “uma região medindo a/3” sem dizer a posição.
Com essas hipóteses, vou calcular (a) normalização, (b) probabilidade na região central de comprimento a/3.

Passo 2

Condição de normalização e interpretação da densidade de probabilidade.
Regra fundamental: a função de onda deve satisfazer
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\Psi|^{2} é a densidade de probabilidade (probabilidade por unidade de comprimento). Se o fator temporal tem módulo 1, então
|\Psi(x,t)|^{2}=|A|^{2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right).
Explicando: |A|^{2} é o quadrado do módulo da constante de normalização; \cos^{2}(\cdot) é a parte espacial; o fator temporal desaparece do módulo se for uma fase complexa de módulo unitário. Vamos resolver a integral espacial para achar |A|^{2}.

Passo 3

Cálculo da integral para normalização.
Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},
com \theta=\dfrac{\pi x}{a}. Então
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{1+\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx.
Calcule os termos separadamente:
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot a = \frac{a}{2},
e
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} = \frac{a}{4\pi}\big(\sin\pi-\sin(-\pi)\big)=0.
Portanto
\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{a}{2}.
Voltando à condição de normalização,
|A|^{2}\cdot \frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A|^{2}=\frac{2}{a}.
Escolhe-se geralmente A real e positivo, então
A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
Explanação didática curta: estamos impondo que a integral da densidade de probabilidade seja 1; a integral de \cos^{2} sobre um período simétrico dá metade do comprimento, porque a média de \cos^{2} é 1/2.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma sub-região central de comprimento a/3.
Definição: a probabilidade P de achar a partícula em \left[-\dfrac{a}{6},\dfrac{a}{6}\right] é
P=\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
Com |\Psi|^{2}=|A|^{2}\cos^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) e A^{2}=\dfrac{2}{a}, temos
P=\frac{2}{a}\int_{-\frac{a}{6}}^{\frac{a}{6}} \cos^{2}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx.
Faz a substituição \theta=\dfrac{\pi x}{a}. Então dx=\dfrac{a}{\pi}d\theta e os limites x=\pm \dfrac{a}{6} viram \theta=\pm \dfrac{\pi}{6}. Assim
P=\frac{2}{a}\cdot\frac{a}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{2}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usa-se novamente \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}.
Calcule os termos:
\frac{\theta}{2}\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{\pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{6},
\frac{\sin 2\theta}{4}\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{4}\big(\sin\!\tfrac{\pi}{3}-\sin(-\tfrac{\pi}{3})\big) =\frac{1}{4}\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-(-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\big)=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Somando,
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}.
Logo
P=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{6} + \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2\pi}.
Valor numérico aproximado:
P \approx 0{,}33333 + 0{,}27566 \approx 0{,}60899 \approx 0{,}609.
Interpretação curta: a probabilidade de estar na região central de comprimento a/3 é cerca de 60{,}9\%. Isso faz sentido porque o estado fundamental (a função \cos(\pi x/a) centrada em x=0) tem maior amplitude perto do centro.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
P=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}\approx 0{,}609

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