12- Considerando a seguinte auto função \Psi(x, t)=A \cdot \cos \left(\frac{\pi x}{a}\right) \cdot \exp \left(-i^{2}-\frac{1}{2} t\right) correspondente ao estado fundamental de uma partícula livre (V(x)=0) movendose restritamente no eixo x, dentro de uma região de comprimento a : (a) determine a constante de normalização A; (b) calcule a probabilidade de encontrá-la dentuo de uma região medindo a / 3.
uma partícula restrita a uma região de comprimento a. O que é pedido:
(a) determinar a constante de normalização A;
(b) calcular a probabilidade de encontrá-la dentro de uma região medindo a/3.
Observações e hipóteses que vou usar (não vou pedir nada a mais, apenas fixar interpretações necessárias):
A função espacial \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right) tem zeros em x=\pm a/2, portanto a interpretação natural da região de comprimento a é o intervalo \left[-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right]. Adoto esse intervalo como a região onde a partícula está confinada.
O fator temporal está escrito de forma estranha (\exp(-i^{2}-\tfrac{1}{2}t)); tipicamente a dependência temporal física é um fator de fase de módulo unitário \exp(-iEt/\hbar). Para que a normalização seja independente do tempo (o que é o caso usual de autoestados de energia), assumirei que o fator temporal tem módulo 1. Com isso a normalização depende só da parte espacial A\cos(\pi x/a). Se o fator temporal fosse real e decrescente, a normalização seria dependente do tempo; contudo a prática física mais comum é a hipótese anterior.
Para a parte (b) o enunciado não especifica onde fica a sub-região de comprimento a/3. Vou assumir que essa sub-região é central e simétrica em torno de x=0, ou seja o intervalo \left[-\dfrac{a}{6},\dfrac{a}{6}\right]. Essa é a hipótese mais natural quando se pede “uma região medindo a/3” sem dizer a posição.
Com essas hipóteses, vou calcular (a) normalização, (b) probabilidade na região central de comprimento a/3.
Passo 2
Condição de normalização e interpretação da densidade de probabilidade.
Regra fundamental: a função de onda deve satisfazer
Explicando: |A|^{2} é o quadrado do módulo da constante de normalização; \cos^{2}(\cdot) é a parte espacial; o fator temporal desaparece do módulo se for uma fase complexa de módulo unitário. Vamos resolver a integral espacial para achar |A|^{2}.
Explanação didática curta: estamos impondo que a integral da densidade de probabilidade seja 1; a integral de \cos^{2} sobre um período simétrico dá metade do comprimento, porque a média de \cos^{2} é 1/2.
Passo 4
Cálculo da probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma sub-região central de comprimento a/3.
Definição: a probabilidade P de achar a partícula em \left[-\dfrac{a}{6},\dfrac{a}{6}\right] é
P \approx 0{,}33333 + 0{,}27566 \approx 0{,}60899 \approx 0{,}609.
Interpretação curta: a probabilidade de estar na região central de comprimento a/3 é cerca de 60{,}9\%. Isso faz sentido porque o estado fundamental (a função \cos(\pi x/a) centrada em x=0) tem maior amplitude perto do centro.