Determine
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para determinar
, a derivada de
em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma composição de funções: existe um seno exterior, uma exponencial no meio e um quadrado no interior.
- Não há valores numéricos nem pontos específicos pedidos, só a expressão geral de
.
Passo 2
Identificar as funções internas e externas (escrever de forma explícita ajuda a não perder passos).
Defina:
Defina:
Isto significa que
é a composição
, com
, e
.
Passo 3
Regra para derivar uma composição (a chamada “cadeia” — aqui vou explicar com calma).
Se , então a derivada é
Se
Isto quer dizer: deriva a função exterior
mantendo a interior como argumento, e multiplica pela derivada da função interior
. Cada símbolo:
-
é a função externa (aqui ); -
é a função interna (aqui ); -
significa que avalia-se a derivada da função externa no valor da função interna.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia à nossa decomposição em três níveis.
Primeiro, derive cada peça simples:
Primeiro, derive cada peça simples:
- Derivada de
é
Explicação breve: potência
tem derivada
; aqui
.
- Derivada de
segundo a regra da cadeia (a exponencial tem derivada igual a ela mesma vezes a derivada do expoente):
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora derive
usando novamente a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e multiplica-se pela derivada de
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Organizar a expressão final de forma usual (multiplicação comutativa):
Isto é tudo: a derivada é o produto de
, da exponencial
e do cosseno de
.
Dica rápida extra (para fixar): se tivesse
, a derivada seria
— mesma ideia, só um nível a menos.
Força aí — você tirou essa!