Determine f'(x):
f(x) = \sin(e^{x^2})

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sin\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr),
e pede para determinar f'(x), a derivada de f em função de x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma composição de funções: existe um seno exterior, uma exponencial no meio e um quadrado no interior.
  • Não há valores numéricos nem pontos específicos pedidos, só a expressão geral de f'(x).

Passo 2

Identificar as funções internas e externas (escrever de forma explícita ajuda a não perder passos).
Defina:
v(x)=x^{2}, \qquad u(x)=e^{v(x)}=e^{x^{2}}, \qquad f(x)=\sin\!\bigl(u(x)\bigr).
Isto significa que f é a composição f=\sin\circ u, com u=e\circ v, e v(x)=x^{2}.

Passo 3

Regra para derivar uma composição (a chamada “cadeia” — aqui vou explicar com calma).
Se F(x)=\varphi(\psi(x)), então a derivada é
F'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Isto quer dizer: deriva a função exterior \varphi mantendo a interior como argumento, e multiplica pela derivada da função interior \psi. Cada símbolo:
  • \varphi é a função externa (aqui \varphi(t)=\sin t);
  • \psi é a função interna (aqui \psi(x)=u(x));
  • \varphi'(\psi(x)) significa que avalia-se a derivada da função externa no valor da função interna.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia à nossa decomposição em três níveis.
Primeiro, derive cada peça simples:
  • Derivada de v(x)=x^{2} é
v'(x)=2x.
Explicação breve: potência x^{n} tem derivada n x^{n-1}; aqui n=2.
  • Derivada de u(x)=e^{v(x)} segundo a regra da cadeia (a exponencial tem derivada igual a ela mesma vezes a derivada do expoente):
u'(x)=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Substituindo v(x)=x^{2} e v'(x)=2x:
u'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x.

Passo 5

Agora derive f(x)=\sin\!\bigl(u(x)\bigr) usando novamente a regra da cadeia: a derivada de \sin t em relação a t é \cos t, e multiplica-se pela derivada de u(x):
f'(x)=\cos\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=e^{x^{2}} e u'(x)=2x e^{x^{2}}:
f'(x)=\cos\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\cdot \bigl(2x e^{x^{2}}\bigr).

Passo 6

Organizar a expressão final de forma usual (multiplicação comutativa):
f'(x)=2x\,e^{x^{2}}\,\cos\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr).
Isto é tudo: a derivada é o produto de 2x, da exponencial e^{x^{2}} e do cosseno de e^{x^{2}}.
Dica rápida extra (para fixar): se tivesse g(x)=\sin(e^{x}), a derivada seria g'(x)=e^{x}\cos(e^{x}) — mesma ideia, só um nível a menos.
Força aí — você tirou essa!

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}}\,\cos\!\bigl(e^{x^{2}}\bigr)

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