Determine f'(x):
f(x) = \cot(x) + \csc(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cot(x)+\csc(x).
  • A pergunta é: determinar f'(x).

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (linearidade da derivada):
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
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f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\csc(x)\bigr).

Passo 3

Derivada de \cot(x). Vou obter usando a forma \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} e a regra do quociente. Regra do quociente: para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=\cos(x) e v(x)=\sin(x). Então u'(x)=-\sin(x) e v'(x)=\cos(x). Aplicando:
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr) =\frac{(-\sin(x))\sin(x)-\cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)} =\frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}.
Como \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr)=-\frac{1}{\sin^2(x)}=-\csc^2(x).

Passo 4

Derivada de \csc(x). Usamos \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}=(\sin(x))^{-1}. Aplicando a regra da cadeia ou a regra da derivada de 1/u:
\frac{d}{dx}\bigl(\csc(x)\bigr) =-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}.
Agora posso reescrever esse resultado em termos de funções trigonométricas padrão:
-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}=-\left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)\left(\frac{1}{\sin(x)}\right)=-\cot(x)\csc(x).
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\csc(x)\bigr)=-\csc(x)\cot(x).

Passo 5

Somando as derivadas (voltar à linearidade):
f'(x)=-\csc^2(x)-\csc(x)\cot(x).
Podemos também fatorar -\csc(x) para uma forma compacta:
f'(x)=-\csc(x)\bigl(\csc(x)+\cot(x)\bigr).

Resposta

-\csc^2(x)-\csc(x)\cot(x)
-\csc(x)\bigl(\csc(x)+\cot(x)\bigr)

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