[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=x1+x^2, x0=0

Passo 1

O enunciado pede a derivada da inversa de
f(x)=x1+x^2
no ponto x0=0. O conteúdo principal é o teorema da derivada da inversa, que diz que, se f é diferenciável e f'(x0)neq0, então
l(f^-1r)'(y0) =1f'(x0),
onde y0=f(x0).

Passo 2

Calcular y0=f(x0). Temos
y0=f(0)=01+0^2=0

Passo 3

Determinar f'(x). Usando quociente,
f'(x) =(1+x^2)cdot1 - xcdot2x(1+x^2)^2 =1 + x^2 - 2x^2(1+x^2)^2 =1 - x^2(1+x^2)^2

Passo 4

Avaliar f'(x) em x0=0:
f'(0)=1-0^2(1+0^2)^2=1
Como f'(0)neq0, f é localmente invertível em torno de 0.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada da inversa em y0=0:
l(f^-1r)'(0) =1f'(0) =11 =1

Resposta

l(f^-1r)'(0)=1

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