[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=x^5+x^3+2 x, x0=4

Passo 1

O enunciado pede a derivada da inversa de f no ponto correspondente a x0=4. O conteúdo usado é a fórmula da derivada de uma função inversa: se y=f(x) é invertível e diferentiável, então
(f^-1)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)
Aqui vamos calcular f'(x), avaliá-la em x0=4 e usar essa fórmula para obter (f^-1)'l(f(4)r).

Passo 2

Calcular a derivada de f(x)=x^5+x^3+2x. Usando as regras de potência e soma:
f'(x)=5x^4+3x^2+2

Passo 3

Avaliar f'(x) em x=4:
f'(4)=5cdot4^4+3cdot4^2+2 =5cdot256+3cdot16+2 =1280+48+2 =1330

Passo 4

Determinar o valor de f(4), já que a derivada da inversa será avaliada em y0=f(4):
f(4)=4^5+4^3+2cdot4 =1024+64+8 =1096

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada da inversa no ponto y0=1096:
(f^-1)'(1096) =1f'(4) =11330

Resposta

(f^-1)'(1096)=11330

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