[11] Determinine a derivada da inversa de
(restrita a um intervalo onde
é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
Passo 1
O enunciado pede a derivada da inversa de
num ponto em que
seja invertível. Aqui
e o ponto dado é
.
Conteúdo: uso da fórmula da derivada de uma função inversa.
Conteúdo: uso da fórmula da derivada de uma função inversa.
Passo 2
Primeiro determinamos o valor de
, pois a derivada da inversa será avaliada em
.
Passo 3
Lembrando a fórmula geral: se
e
é invertível, então
com
.
Passo 4
Vamos calcular
.
Em particular, em
:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da inversa:
Passo 6
Para conferir, encontramos explicitamente
. Se
então
, logo
Em
isso dá
confirmando o resultado.