[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=raizx-1, x0=3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da inversa de f num ponto em que f seja invertível. Aqui
f(x)=raizx-1, x>=1,
e o ponto dado é x0=3.
Conteúdo: uso da fórmula da derivada de uma função inversa.

Passo 2

Primeiro determinamos o valor de y0=f(x0), pois a derivada da inversa será avaliada em y0.
y0 = f(3) = raiz3-1 = raiz2

Passo 3

Lembrando a fórmula geral: se y=f(x) e f é invertível, então
l(f^-1r)'!(y0) ;=;1f'(x0),
com y0=f(x0).

Passo 4

Vamos calcular f'(x).
f(x)= (x-1)^1/2 Longrightarrow f'(x)=12,(x-1)^-1/2=12raizx-1
Em particular, em x0=3:
f'(3)=12raiz3-1=12raiz2

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da inversa:
l(f^-1r)'!(y0) =1f'(3) =112raiz2 =2raiz2

Passo 6

Para conferir, encontramos explicitamente f^-1. Se y=raizx-1 então x=y^2+1, logo
f^-1(y)=y^2+1 Longrightarrow l(f^-1r)'(y)=2y
Em y0=raiz2 isso dá
l(f^-1r)'!(raiz2)=2raiz2,
confirmando o resultado.

Resposta

(f^-1)'(raiz2) = 2raiz2

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