Responda aos itens abaixo, resolvendo a EDO: 2 x ">d yd x+4 y=x^-22, pelo método do fator integrante mu(x)=e^integral P((x) d x.
Item 1) Calcule o fator integrante mu(x) e o avalie no ponto x=1.
Coloque sua resposta aqui: mu(x=1)= square
Encontre a constante k relativa à solução que passa no ponto P=(x=2, y=2).
Coloque sua resposta aqui k= square

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2xdydx + 4y = x^-1
pelo método do fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx. Precisamos calcular mu(x), avaliá-la em x=1, e depois encontrar a constante k de tal forma que a solução passe por P=(2,2).

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por 2x obtém-se
y' + 42x,y = x^-12x Longrightarrow y' + 2x,y = 12,x^-2
Aqui P(x)=2/x. Logo o fator integrante é
mu(x) = e^integral 2x,dx = e^2ln x = x^2

Passo 3

Avaliando em x=1 vem
mu(1) = 1^2 = 1

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=x^2:
x^2 y' + 2x,y = 12,
que é equivalente a
ddxl(x^2 yr) = tfrac12
Integrando,
x^2 y = 12,x + C Longrightarrow y = 12x + C,x^-2

Passo 5

Impondo a condição y(2)=2:
2 = 12cdot2 + Ccdot2^-2 ;Longrightarrow; 2 = tfrac14 + C4 ;Longrightarrow; 8 = 1 + C ;Longrightarrow; C = 7
Portanto o parâmetro da solução é k = 7.

Resposta

mu(1)=1
k=7

Exercícios relacionados