[11] Determinine a derivada da inversa de f (restrita a um intervalo onde f é invertível) nos pontos indicados. [Curiosidade: como dito em aula as inversas das funções seno e cossseno são ditas arcosseno e arcocosseno e são denotadas arcsen e arccos, respectivamente]
f(x)=x^9+x^5+x, x0=-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^9+x^5+x
e pede a derivada da inversa de f no ponto que corresponde a x0=-3.
Para uma função invertível e derivável, vale o Teorema da derivada da inversa:
(f^-1)'(y0)=1f'(x0),
onde y0=f(x0).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=9x^8+5x^4+1

Passo 3

Agora avaliamos f' em x0=-3:
f'(-3)=9l((-3)^8r)+5l((-3)^4r)+1 =9cdot 6561+5cdot 81+1 =59049+405+1 =59455

Passo 4

Também calculamos o valor y0=f(-3), pois é o ponto onde a derivada da inversa será avaliada:
y0=f(-3)=(-3)^9+(-3)^5+(-3) =-19683-243-3 =-19929

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada da inversa, obtemos:
(f^-1)'(y0) =1f'(-3) =159455

Resposta

(f^-1)'l(-19929r)=159455

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