11- Num dielétrico que se torna absorvente em altas frequências, ou num semicondutor, ocorre que a permissividade (complexa) é escrita na forma \widetilde{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1+i). O índice de refração complexo é definido por \tilde{n}=\sqrt{\tilde{\varepsilon}}=\frac{c k}{w}=n_{r}+i n_{i}, onde \vec{k}=\left(k_{r}+i k_{i}\right) \hat{k} é o vetor de onda complexo. Neste caso, calcule as constantes ópticas n_{r} e n_{i} em termos de \varepsilon_{r}. Encontre \delta / \lambda, a razāo entre o comprimento de atenuaçāo e o comprimento de onda. Refaça este problema assumindo \bar{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1-i), que é válida em metais na regiāo do infravermelho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem concretas:
  • Dado \widetilde{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1+i).
  • O índice complexo é definido por \tilde{n}=\sqrt{\tilde{\varepsilon}}=n_{r}+i n_{i}.
  • O vetor de onda complexo é \vec{k}=(k_{r}+i k_{i})\hat{k} e \tilde{n}=\dfrac{c\,k}{\omega}.
  • Pede para calcular as constantes ópticas n_{r} e n_{i} em função de \varepsilon_{r}.
  • Pede para encontrar a razão \delta/\lambda, onde \delta é o comprimento de atenuação e \lambda é o comprimento de onda (no meio).
  • Depois, refazer o problema assumindo \bar{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1-i).
Informações relevantes extraídas do enunciado (lista clara):
  • \tilde{n}=\sqrt{\tilde{\varepsilon}}.
  • Relação entre componentes do vetor de onda e índice: k_{r}=(\omega/c)n_{r} e k_{i}=(\omega/c)n_{i}.
  • Definição prática do comprimento de atenuação: \delta=1/k_{i}.
  • Definição de comprimento de onda no meio: \lambda=2\pi/k_{r}.

Passo 2

Entendendo como tirar a raiz quadrada de um número complexo (o passo conceitual que usamos aqui).
  • Um complexo não-nulo pode ser escrito em forma polar. Para 1+i temos:
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
Explicando: |1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} e o argumento é \pi/4 (45°).
  • Como \widetilde{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1+i), podemos escrever
\widetilde{\varepsilon}=\varepsilon_{r}\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
  • A raiz quadrada é obtida dividindo o argumento por 2 e tirando raiz do módulo. Assim
\tilde{n}=\sqrt{\widetilde{\varepsilon}}=\sqrt{\varepsilon_{r}\sqrt{2}}\;e^{i\pi/8} =\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\,e^{i\pi/8}.
Isto nos dá diretamente as partes real e imaginária do índice complexo:
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right), \qquad n_{i}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\sin\!\left(\frac{\pi}{8}\right).

Passo 3

Simplificar as expressões usando fórmulas de ângulo metade (tornando tudo em radicais diretos, que ficam mais elegantes na prova).
  • Usamos
\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},
\sin\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Substituindo em n_{r} e n_{i}:
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}, \qquad n_{i}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Essas fórmulas podem ser arrumadas de forma ainda mais simples ao calcular n_{r}^{2} e n_{i}^{2}. Fazendo as contas (mostro passo a passo):
n_{r}^{2}=\varepsilon_{r}\,2^{1/2}\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{8}\right) =\varepsilon_{r}\,\sqrt{2}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{4} =\varepsilon_{r}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2},
n_{i}^{2}=\varepsilon_{r}\,2^{1/2}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{8}\right) =\varepsilon_{r}\,\sqrt{2}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{4} =\varepsilon_{r}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}.
  • Portanto as formas compactas e muito úteis para a prova são
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\frac{\sqrt{2}+1}{2}}, \qquad n_{i}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.
Essas expressões deixam claro o dependência em \varepsilon_{r} e evitam trigonometria na hora da prova.

Passo 4

Agora ligamos n_{r},n_{i} com \delta e \lambda (passo prático para achar \delta/\lambda).
  • Pelo enunciado: \tilde{n}=(c/\omega)k. Então as partes real e imaginária do vetor de onda são
k_{r}=\frac{\omega}{c}\,n_{r},\qquad k_{i}=\frac{\omega}{c}\,n_{i}.
  • O comprimento de atenuação (distância para diminuir a amplitude por 1/e) é
\delta=\frac{1}{k_{i}}=\frac{c}{\omega}\frac{1}{n_{i}}.
  • O comprimento de onda no meio é
\lambda=\frac{2\pi}{k_{r}}=\frac{2\pi c}{\omega}\frac{1}{n_{r}}.
  • A razão pedida é
\frac{\delta}{\lambda}=\frac{\dfrac{c}{\omega}\dfrac{1}{n_{i}}}{\dfrac{2\pi c}{\omega}\dfrac{1}{n_{r}}} =\frac{n_{r}}{2\pi n_{i}}.
Note que os fatores \omega e c cancelam — muito conveniente.

Passo 5

Avaliar \delta/\lambda usando as expressões encontradas para n_{r} e n_{i}.
  • Primeiro calcule a razão n_{r}/n_{i}. Usando as expressões para os quadrados:
\left(\frac{n_{r}}{n_{i}}\right)^{2}=\frac{(\sqrt{2}+1)/2}{(\sqrt{2}-1)/2}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}+1:
\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2-1}=(\sqrt{2}+1)^{2}.
Logo
\frac{n_{r}}{n_{i}}=\sqrt{2}+1.
  • Portanto
\frac{\delta}{\lambda}=\frac{n_{r}}{2\pi n_{i}}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\pi}.
  • Valor numérico aproximado (útil para intuição):
\frac{\delta}{\lambda}\approx\frac{2{,}4142}{6{,}2832}\approx 0{,}385.
Observação simpática: essa razão é independente de \varepsilon_{r} — só depende da fase do fator complexo 1+i.

Passo 6

Refazendo o problema para \bar{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1-i) (metais na região do infravermelho).
  • Repetindo o mesmo procedimento: 1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}. Portanto
\tilde{n}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\,e^{-i\pi/8},
o que dá
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right), \qquad n_{i}=-\sqrt{\varepsilon_{r}}\,2^{1/4}\sin\!\left(\frac{\pi}{8}\right).
  • Em termos dos radicais já usados:
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\frac{\sqrt{2}+1}{2}}, \qquad n_{i}=-\sqrt{\varepsilon_{r}\,\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.
  • A magnitude da razão n_{r}/n_{i} (ou, fisicamente, a razão \delta/\lambda em valor absoluto) é a mesma, porque apenas o sinal de n_{i} mudou. Assim
\frac{\delta}{\lambda}=\frac{n_{r}}{2\pi n_{i}}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\pi},
se formos tomar os módulos para \delta positivo (ou seja, usamos \delta=1/|k_{i}| quando necessário). Em resumo: n_{r} é o mesmo, n_{i} troca de sinal; \delta/\lambda em módulo é igual ao caso anterior.

Resposta

n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}
n_{i}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}
\displaystyle \frac{\delta}{\lambda}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\pi}
Para \bar{\varepsilon}=\varepsilon_{r}(1-i):
n_{r}=\sqrt{\varepsilon_{r}\,\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}
n_{i}=-\sqrt{\varepsilon_{r}\,\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}
\displaystyle \frac{\delta}{\lambda}=\frac{\sqrt{2}+1}{2\pi}

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