11- Num dielétrico que se torna absorvente em altas frequências, ou num semicondutor, ocorre que a permissividade (complexa) é escrita na forma
. O índice de refração complexo é definido por
, onde
é o vetor de onda complexo. Neste caso, calcule as constantes ópticas
e
em termos de
. Encontre
, a razāo entre o comprimento de atenuaçāo e o comprimento de onda. Refaça este problema assumindo
, que é válida em metais na regiāo do infravermelho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem concretas:
- Dado
. - O índice complexo é definido por
. - O vetor de onda complexo é
e . - Pede para calcular as constantes ópticas
e em função de . - Pede para encontrar a razão
, onde é o comprimento de atenuação e é o comprimento de onda (no meio). - Depois, refazer o problema assumindo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado (lista clara):
-
. - Relação entre componentes do vetor de onda e índice:
e . - Definição prática do comprimento de atenuação:
. - Definição de comprimento de onda no meio:
.
Passo 2
Entendendo como tirar a raiz quadrada de um número complexo (o passo conceitual que usamos aqui).
- Um complexo não-nulo pode ser escrito em forma polar. Para
temos:
Explicando:
e o argumento é
(45°).
- Como
, podemos escrever
- A raiz quadrada é obtida dividindo o argumento por 2 e tirando raiz do módulo. Assim
Isto nos dá diretamente as partes real e imaginária do índice complexo:
Passo 3
Simplificar as expressões usando fórmulas de ângulo metade (tornando tudo em radicais diretos, que ficam mais elegantes na prova).
- Usamos
- Substituindo em
e :
- Essas fórmulas podem ser arrumadas de forma ainda mais simples ao calcular
e . Fazendo as contas (mostro passo a passo):
- Portanto as formas compactas e muito úteis para a prova são
Essas expressões deixam claro o dependência em
e evitam trigonometria na hora da prova.
Passo 4
Agora ligamos
com
e
(passo prático para achar
).
- Pelo enunciado:
. Então as partes real e imaginária do vetor de onda são
- O comprimento de atenuação (distância para diminuir a amplitude por
) é
- O comprimento de onda no meio é
- A razão pedida é
Note que os fatores
e
cancelam — muito conveniente.
Passo 5
Avaliar
usando as expressões encontradas para
e
.
- Primeiro calcule a razão
. Usando as expressões para os quadrados:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Logo
- Portanto
- Valor numérico aproximado (útil para intuição):
Observação simpática: essa razão é independente de
— só depende da fase do fator complexo
.
Passo 6
Refazendo o problema para
(metais na região do infravermelho).
- Repetindo o mesmo procedimento:
. Portanto
o que dá
- Em termos dos radicais já usados:
- A magnitude da razão
(ou, fisicamente, a razão em valor absoluto) é a mesma, porque apenas o sinal de mudou. Assim
se formos tomar os módulos para
positivo (ou seja, usamos
quando necessário). Em resumo:
é o mesmo,
troca de sinal;
em módulo é igual ao caso anterior.
Resposta
Para
: