29-(UFPE-2017) Uma onda eletromagnética plana, com freqüência w e vetor de onda \vec{k}, propagase em um meio caracterizado pelas constantes \varepsilon_{1} e \mu_{1}, \operatorname{com} \rho=0, \vec{J}=0 e cujo campo \vec{B} pode ser escrito como a parte real de \vec{B}(\vec{r}, t)=E_{o} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)} \widehat{y}.
(a) A partir das equações de Maxwell, obtenha o campo elétrico { }^{\sim} \mathrm{E} e encontre uma expressão para a velocidade de propagação da onda.
(b) Esta onda incide na interface com um outro meio dielétrico, caracterizado pelas constantes \varepsilon_{2} e \mu_{2}. Considerando que as ondas refletida e refratada também sejam ondas planas, escreva as condições
de contorno para os campos e obtenha as relações entre os ângulos de incidência, reflexão e refração (lei da reflexão e lei de Snell).
(c) No caso particular de uma incidência normal, temos que a onda refletida forma uma onda estacionária quando combinada com a onda incidente. Para o caso de termos uma fração \beta(0<\beta<1) de energia refletida e uma mudança de fase \pi na reflexão do campo elétrico, ache uma expressão para a amplitude do campo elétrico total, E_{T}, no meio de incidência como função da distância d à interface. Determine as posições dos máximos e mínimos de \left\langle E_{T}^{2}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: uma onda eletromagnética plana, com frequência \omega e vetor de onda \vec{k}, propaga-se num meio homogêneo com constantes \varepsilon_{1} e \mu_{1}. Não há cargas livres nem correntes: \rho=0 e \vec{J}=0.
  • Informação: o campo magnético complexo (fasor) é dado por \vec{B}(\vec{r},t)=\Re\{\tilde{\vec{B}}(\vec{r})e^{-i\omega t}\} com \tilde{\vec{B}}(\vec{r})=E_{0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\widehat{y}. (Ou seja, o campo magnético complexo é \tilde{\vec{B}}=E_{0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\widehat{y}.)
  • Pedido (a): a partir das equações de Maxwell, encontrar o campo elétrico \tilde{\vec{E}} e uma expressão para a velocidade de propagação da onda no meio.
  • Pedido (b): a onda incide numa interface com outro meio ( \varepsilon_{2},\mu_{2}). Assumindo ondas planas refletida e refratada, escrever as condições de contorno para os campos e obter as relações entre os ângulos de incidência, reflexão e refração (lei da reflexão e lei de Snell).
  • Pedido (c): no caso de incidência normal, a reflexão produz uma fração de energia \beta (com 0<\beta<1) e há mudança de fase \pi no campo elétrico refletido. Encontrar expressão para a amplitude do campo elétrico total E_{T} no meio de incidência como função da distância d à interface e determinar posições dos máximos e mínimos de \langle E_{T}^{2}\rangle.
Todas as informações relevantes do enunciado estão listadas acima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

(Usar Maxwell em regime harmônico e relacionar \tilde{\vec{E}} e \tilde{\vec{B}}.)
Vamos trabalhar com as formas fasoriais das equações de Maxwell no espaço livre do meio 1. Para campos com dependência temporal e^{-i\omega t} (fasor \tilde{\\ }), as equações relevantes são:
\nabla\times\tilde{\vec{E}}=-\frac{\partial\tilde{\vec{B}}}{\partial t}\;\Longrightarrow\; \nabla\times\tilde{\vec{E}}=i\omega\tilde{\vec{B}},
\nabla\times\tilde{\vec{H}}=\frac{\partial\tilde{\vec{D}}}{\partial t}\;\Longrightarrow\; \nabla\times\tilde{\vec{H}}=-i\omega\tilde{\vec{D}}.
Aqui usamos que \partial/\partial t aplicado a e^{-i\omega t} -i\omega, e o menos já está no lado direito da equação original, resultando nos sinais acima. Além disso valem as relações constitutivas do meio:
\tilde{\vec{D}}=\varepsilon_{1}\tilde{\vec{E}},\qquad \tilde{\vec{H}}=\frac{1}{\mu_{1}}\tilde{\vec{B}}.
Para uma onda plana com dependência espacial e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} temos \nabla\to i\vec{k}. Substituindo em \nabla\times\tilde{\vec{E}}=i\omega\tilde{\vec{B}} obtemos a relação vetorial simples entre os fasores:
i\vec{k}\times\tilde{\vec{E}}=i\omega\tilde{\vec{B}}\quad\Longrightarrow\quad \vec{k}\times\tilde{\vec{E}}=\omega\tilde{\vec{B}}.

Passo 3

(Calcular \tilde{\vec{E}} explicitamente e discutir ortogonalidade.)
Da relação do passo anterior podemos escrever diretamente o campo elétrico fasor em termos de \tilde{\vec{B}}:
\tilde{\vec{E}}=\frac{1}{\omega}\,\vec{k}\times\tilde{\vec{B}}.
Como no enunciado \tilde{\vec{B}}=E_{0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\widehat{y}, substituindo:
\tilde{\vec{E}}(\vec{r})=\frac{E_{0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{\omega}\,\vec{k}\times\widehat{y}.
Isto mostra duas coisas importantes, que vou explicar com calma: (i) \tilde{\vec{E}} é proporcional a \vec{k}\times\widehat{y}, ou seja é ortogonal a \tilde{\vec{B}} (porque \widehat{y}\cdot(\vec{k}\times\widehat{y})=0) e também ortogonal a \vec{k} (pois \vec{k}\cdot(\vec{k}\times\widehat{y})=0). (ii) a direção do campo elétrico é a que garante que \vec{E},\vec{B},\vec{k} formam um triângulo ortogonal típico da onda plana transversal.

Passo 4

(Obter a relação de dispersão e velocidade de propagação.)
Agora usamos a segunda equação rotacional para obter a relação entre |\vec{k}| e \omega. Da equação \nabla\times\tilde{\vec{H}}=-i\omega\tilde{\vec{D}} e usando \tilde{\vec{H}}=\tilde{\vec{B}}/\mu_{1}, \tilde{\vec{D}}=\varepsilon_{1}\tilde{\vec{E}} e \nabla\to i\vec{k}, temos
i\vec{k}\times\left(\frac{\tilde{\vec{B}}}{\mu_{1}}\right)=-i\omega\varepsilon_{1}\tilde{\vec{E}}.
Multiplicando por \mu_{1} e simplificando o i, obtemos
\vec{k}\times\tilde{\vec{B}}=-\omega\mu_{1}\varepsilon_{1}\tilde{\vec{E}}.
Agora usamos a relação do passo 2 \vec{k}\times\tilde{\vec{E}}=\omega\tilde{\vec{B}}. Fazer \vec{k}\times nessa igualdade e manipular dá (ou simplesmente combinar as duas equações) a relação escalar
k^{2}=\omega^{2}\mu_{1}\varepsilon_{1},
onde k=|\vec{k}|. Esta é a relação de dispersão para ondas eletromagnéticas no meio. Assim a velocidade de fase da onda é
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{1}\varepsilon_{1}}}.
Explicando com palavras: a velocidade da onda num meio material homogêneo e não dissipativo depende apenas das propriedades \varepsilon e \mu por esta fórmula clássica.

Passo 5

(Condições de contorno na interface entre dois meios.)
Agora para a parte (b). Considere a interface plana entre os meios 1 e 2 (sem cargas ou correntes livres na superfície). As condições de contorno de Maxwell relevantes são:
\hat{n}\times(\tilde{\vec{E}}_{2}-\tilde{\vec{E}}_{1})=\vec{0},
\hat{n}\times(\tilde{\vec{H}}_{2}-\tilde{\vec{H}}_{1})=\vec{0},
\hat{n}\cdot(\tilde{\vec{D}}_{2}-\tilde{\vec{D}}_{1})=0,
\hat{n}\cdot(\tilde{\vec{B}}_{2}-\tilde{\vec{B}}_{1})=0.
Aqui \hat{n} é o versor normal da interface apontando, por exemplo, do meio 1 para o meio 2. As duas primeiras dizem que as componentes tangenciais de \tilde{\vec{E}} e \tilde{\vec{H}} são contínuas; as últimas dizem que as componentes normais de \tilde{\vec{D}} e \tilde{\vec{B}} são contínuas quando não há carga magnética ou elétrica livre.

Passo 6

(Usar condição de continuidade de fase e obter leis de reflexão/refração.)
Como as ondas incidente, refletida e transmitida são planas com dependência e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}-i\omega t}, a continuação temporal e espacial na interface, válida para todo ponto da superfície e todo instante, exige que as fases das três ondas coincidam sobre a superfície. Isso implica que as componentes tangenciais dos vetores de onda sejam iguais:
\vec{k}_{i,\parallel}=\vec{k}_{r,\parallel}=\vec{k}_{t,\parallel}.
Deste fato direto decorrem as leis geométricas:
  • Lei da reflexão: como a componente tangencial é preservada e o módulo de \vec{k} da onda refletida no mesmo meio é igual ao da incidente, a reflexão acontece com ângulo de reflexão igual ao de incidência:
\theta_{r}=\theta_{i}.
  • Lei de Snell (refração): igualando a componente tangencial obtemos
k_{1}\sin\theta_{i}=k_{2}\sin\theta_{t}.
Usando k_{j}=\omega\sqrt{\mu_{j}\varepsilon_{j}} e dividindo por \omega, isto pode ser escrito como
\frac{\sin\theta_{i}}{\sin\theta_{t}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\sqrt{\mu_{2}\varepsilon_{2}}}{\sqrt{\mu_{1}\varepsilon_{1}}}.
Se definirmos índices de refração relativos à luz no vácuo \,n_{j}=c/v_{j}=\sqrt{\mu_{j}\varepsilon_{j}}/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}, obtemos a forma usual
n_{1}\sin\theta_{i}=n_{2}\sin\theta_{t}.
Isso conclui a parte (b): escrevemos as condições de contorno e mostramos como a conservação da componente tangencial do vetor de onda leva à lei da reflexão e à lei de Snell.

Passo 7

(Preparar a geometria para incidência normal e relacionar \beta com amplitudes.)
Agora a parte (c): considere incidência normal sobre a interface, ou seja \theta_{i}=0. Tome o meio de incidência como o meio 1 e coloque a interface em z=0; o meio 1 está para z>0 e a onda incidente desloca-se no sentido -\hat{z} (da região z>0 em direção à interface em z=0). Seja d a distância positiva até a interface, ou seja, um ponto no meio 1 tem coordenada z=d>0 e está a distância d da interface.
Escrevemos os fasores (dependência espacial) no meio 1:
\tilde{E}_{i}(z)=E_{i}e^{-ik_{1}z}\quad(\text{onda incidente, propagando no sentido}-\hat{z}),
\tilde{E}_{r}(z)=E_{r}e^{ik_{1}z}\quad(\text{onda refletida, propagando no sentido }+\hat{z}),
com k_{1}=\omega\sqrt{\mu_{1}\varepsilon_{1}}. A fração de energia refletida \beta é a razão entre fluxos médios refletido e incidente. Para o mesmo meio de incidência, impedâncias iguais, o fluxo é proporcional a |E|^{2}, logo
\beta=\frac{\langle S\rangle_{r}}{\langle S\rangle_{i}}=\frac{|E_{r}|^{2}}{|E_{i}|^{2}}.
Assim, em módulo,
|E_{r}|=\sqrt{\beta}\,|E_{i}|.
Foi dado que ao refletir o campo elétrico sofre mudança de fase \pi. Uma mudança de fase \pi significa multiplicar a amplitude por -1. Tomando E_{i} real positivo como referência de fase, podemos escrever
E_{r}=-\sqrt{\beta}\,E_{i}.

Passo 8

(Escrever o campo total como função de d.)
No ponto a distância d da interface (ou seja em z=d>0), o fasor do campo elétrico total é soma dos fasores incidente e refletido:
\tilde{E}_{T}(d)=\tilde{E}_{i}(d)+\tilde{E}_{r}(d) =E_{i}e^{-ik_{1}d}-\sqrt{\beta}\,E_{i}e^{ik_{1}d}.
Podemos fatorar E_{i} para ficar mais compacto:
\tilde{E}_{T}(d)=E_{i}\big(e^{-ik_{1}d}-\sqrt{\beta}\,e^{ik_{1}d}\big).
O campo físico instantâneo é a parte real de \tilde{E}_{T}(d)e^{-i\omega t}, mas para calcular amplitudes e médias temporais basta trabalhar com o fasor \tilde{E}_{T}(d) acima.

Passo 9

(Calcular \langle E_{T}^{2}\rangle e determinar máximos e mínimos.)
Para uma onda harmônica cujo fasor é \tilde{E}, a média temporal do quadrado do campo elétrico é
\langle E^{2}\rangle=\frac{1}{2}|\tilde{E}|^{2}.
Aplicando isto ao fasor do passo anterior:
|\tilde{E}_{T}(d)|^{2}=|E_{i}|^{2}\,\big|e^{-ik_{1}d}-\sqrt{\beta}\,e^{ik_{1}d}\big|^{2}.
Expandindo o módulo (note que \sqrt{\beta} é real positivo):
\big|e^{-ikd}-\sqrt{\beta}\,e^{ikd}\big|^{2} =1+\beta-2\sqrt{\beta}\cos(2k_{1}d).
Portanto
\langle E_{T}^{2}\rangle=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}\big(1+\beta-2\sqrt{\beta}\cos(2k_{1}d)\big).
Agora encontramos posições dos máximos e mínimos variando d:
  • Máximos acontecem quando \cos(2k_{1}d)=-1. Isso ocorre para
2k_{1}d=(2m+1)\pi\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{(2m+1)\pi}{2k_{1}}=\frac{(2m+1)\lambda_{1}}{4},
onde \lambda_{1}=2\pi/k_{1} é o comprimento de onda no meio 1 e m é inteiro.
  • Mínimos acontecem quando \cos(2k_{1}d)=+1. Isso ocorre para
2k_{1}d=2m\pi\quad\Longrightarrow\quad d=\frac{m\pi}{k_{1}}=\frac{m\lambda_{1}}{2}.
Os valores extremos da média são:
\langle E_{T}^{2}\rangle_{\max}=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}\big(1+\beta+2\sqrt{\beta}\big)=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}(1+\sqrt{\beta})^{2},
\langle E_{T}^{2}\rangle_{\min}=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}\big(1+\beta-2\sqrt{\beta}\big)=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}(1-\sqrt{\beta})^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \tilde{\vec{E}}(\vec{r})=\frac{1}{\omega}\,\vec{k}\times\tilde{\vec{B}}=\frac{E_{0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{\omega}\,\vec{k}\times\widehat{y}.
\displaystyle Velocidade de propagação: \displaystyle v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{1}\varepsilon_{1}}}.
(b) Condições de contorno (sem cargas nem correntes livres): \displaystyle \hat{n}\times(\tilde{\vec{E}}_{2}-\tilde{\vec{E}}_{1})=\vec{0},\;\hat{n}\times(\tilde{\vec{H}}_{2}-\tilde{\vec{H}}_{1})=\vec{0},\;\hat{n}\cdot(\tilde{\vec{D}}_{2}-\tilde{\vec{D}}_{1})=0,\;\hat{n}\cdot(\tilde{\vec{B}}_{2}-\tilde{\vec{B}}_{1})=0.
Lei da reflexão: \displaystyle \theta_{r}=\theta_{i}.
Lei de Snell: \displaystyle k_{1}\sin\theta_{i}=k_{2}\sin\theta_{t} ou equivalentemente \displaystyle n_{1}\sin\theta_{i}=n_{2}\sin\theta_{t} com n_{j}=\sqrt{\mu_{j}\varepsilon_{j}}/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
(c) Para incidência normal, com fração de energia refletida \beta e mudança de fase \pi na reflexão, o fasor do campo elétrico total a distância d da interface é
\tilde{E}_{T}(d)=E_{i}\big(e^{-ik_{1}d}-\sqrt{\beta}\,e^{ik_{1}d}\big).
A média temporal do quadrado do campo é
\langle E_{T}^{2}\rangle=\frac{1}{2}|E_{i}|^{2}\big(1+\beta-2\sqrt{\beta}\cos(2k_{1}d)\big).
Máximos ocorrem em \displaystyle d=\frac{(2m+1)\lambda_{1}}{4} (com \langle E_{T}^{2}\rangle_{\max}=\tfrac{1}{2}|E_{i}|^{2}(1+\sqrt{\beta})^{2}).
Mínimos ocorrem em \displaystyle d=\frac{m\lambda_{1}}{2} (com \langle E_{T}^{2}\rangle_{\min}=\tfrac{1}{2}|E_{i}|^{2}(1-\sqrt{\beta})^{2}).

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