30-(UFPE-2018) Considere um condutor isotrópico e não magnético, de condutividade \sigma e permissividade \varepsilon. Suponha que \sigma e \varepsilon são constantes.
(a) A partir das equações de Maxwell, mostre que os campos \vec{E} e \vec{B} nesse meio são soluções das equações:
\left\{\begin{array}{l} \vec{\nabla}^{2} \vec{E}-\mu_{o} \varepsilon \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu_{o} \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0 \\\ \vec{\nabla}^{2} \vec{B}-\mu_{o} \varepsilon \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}-\mu_{o} \sigma \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \end{array}\right.
Considere agora uma onda eletromagnética que se propaga no espaço livre e incide normalmente sobre uma superfície plana de um meio condutor como o descrito acima, semi-infinito, situado em z>0. Ao penetrar nesse meio, os campos elétrico e magnético são da forma
\left\{\begin{array}{l} \vec{E}(z, t)=\vec{E}_{o} e^{i(\widetilde{k} z-w t)} \\\ \vec{B}(z, t)=\vec{B}_{o} e^{i(\widetilde{k} z-w t)} \end{array}\right.
onde w é a frequência angular e \widetilde{k} é o número d eonda complexo, ou seja, \widetilde{k}=k+i \eta, onde k=\operatorname{Re}(\widetilde{k}) e \eta=\operatorname{Im}(\widetilde{k}).
b) Mostre que a onda tem a relação de dispersão dada por
w(k)=\frac{k^{2}}{\sqrt{\mu_{o} \varepsilon\left(k^{2}+\frac{\mu_{o} \sigma^{2}}{4 \varepsilon}\right)}} .
c) Mostre que o comprimento de penetração (skin depth), definido por \delta=1 / \eta, é dado por
\delta=\frac{1}{w \sqrt{\frac{\mu_{o} \varepsilon}{2}\left[\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{w \varepsilon}\right)^{2}}-1\right]}}

Passo 1

O enunciado dá um condutor isotrópico e não magnético com condutividade \sigma e permissividade \varepsilon constantes, e pede três coisas:
  • (a) A partir das equações de Maxwell, mostrar que \vec{E} e \vec{B} satisfazem as equações
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0, \qquad \vec{\nabla}^{2}\vec{B}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=0.
  • (b) Para uma onda que penetra no meio com forma \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{o}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} e \vec{B}(z,t)=\vec{B}_{o}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)}, mostrar que a relação de dispersão é
\omega(k)=\frac{k^{2}}{\sqrt{\mu_{o}\varepsilon\!\left(k^{2}+\dfrac{\mu_{o}\sigma^{2}}{4\varepsilon}\right)}}.
  • (c) Mostrar que a profundidade de penetração (skin depth) \delta=1/\eta, onde \widetilde{k}=k+i\eta, é
\delta=\frac{1}{\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{o}\varepsilon}{2}\Big[\sqrt{1+\big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\big)^{2}}-1\Big]}}.
Informações relevantes dadas: meio linear, isotrópico, não magnético ( \mu=\mu_{o}), \vec{J}=\sigma\vec{E}, forma de onda com número de onda complexo \widetilde{k}=k+i\eta. A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevemos as equações de Maxwell relevantes e as leis constitutivas no meio:
\begin{aligned} &\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},\\\ &\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,\\\ &\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\\\ &\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_{o}\vec{J}+\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{aligned}
No condutor ohmico temos a lei de Ohm local \vec{J}=\sigma\vec{E}. Para ondas eletromagnéticas harmônicas que penetram no condutor assumimos ausência de acumulação líquida de carga livre local (ou seja \rho=0 para o regime de ondas), portanto \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0. Também usamos \mu=\mu_{o} (não magnético).

Passo 3

Derivação da equação de onda para \vec{E}. Tomamos o rotacional de \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
Usamos a identidade vetorial
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E})-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}.
Como \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 isso reduz para -\vec{\nabla}^{2}\vec{E}. No lado direito substituímos Ampère com \vec{J}=\sigma\vec{E}:
-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\big(\mu_{o}\sigma\vec{E}+\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\big).
Expandindo o lado direito e reorganizando obtemos
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0,
que é exatamente a equação desejada para \vec{E}.

Passo 4

Derivação da equação de onda para \vec{B}. Tomamos o rotacional de Ampère:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})=\mu_{o}\vec{\nabla}\times\vec{J}+\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{E}).
Usamos \vec{J}=\sigma\vec{E} então \vec{\nabla}\times\vec{J}=\sigma(\vec{\nabla}\times\vec{E}). Substituindo e lembrando que \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t obtemos
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})=-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.
Aplicando a identidade vetorial e usando \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 temos -\vec{\nabla}^{2}\vec{B} no lado esquerdo, que leva a
\vec{\nabla}^{2}\vec{B}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=0,
como pedido para \vec{B}.

Passo 5

Agora substituímos a ansatz de onda plana no condutor. Para \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{o}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} temos
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial z^{2}}=(i\widetilde{k})^{2}\vec{E}=-\widetilde{k}^{2}\vec{E},
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=-i\omega\vec{E},\qquad \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}\vec{E}.
Substituindo essas derivadas na equação de onda de \vec{E} obtemos
-\widetilde{k}^{2}\vec{E}-\mu_{o}\varepsilon(-\omega^{2})\vec{E}-\mu_{o}\sigma(-i\omega)\vec{E}=0,
ou seja
\widetilde{k}^{2}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}+i\mu_{o}\sigma\omega.
Isto é a relação fundamental entre \widetilde{k} e \omega. A mesma relação vale para \vec{B} pela simetria das equações.

Passo 6

Agora escrevemos \widetilde{k}=k+i\eta com k=\operatorname{Re}(\widetilde{k}) e \eta=\operatorname{Im}(\widetilde{k}). Então
\widetilde{k}^{2}=(k+i\eta)^{2}=k^{2}-\eta^{2}+2ik\eta.
Comparando com \widetilde{k}^{2}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}+i\mu_{o}\sigma\omega obtemos as equações para as partes real e imaginária:
\begin{aligned} &k^{2}-\eta^{2}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2},\\\ &2k\eta=\mu_{o}\sigma\omega. \end{aligned}

Passo 7

A partir da segunda equação isolamos \eta:
\eta=\frac{\mu_{o}\sigma\omega}{2k}.
Substituímos \eta^{2}=\dfrac{\mu_{o}^{2}\sigma^{2}\omega^{2}}{4k^{2}} na primeira equação:
k^{2}-\frac{\mu_{o}^{2}\sigma^{2}\omega^{2}}{4k^{2}}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}.
Multiplicando ambos os lados por k^{2} obtemos
k^{4}-\frac{\mu_{o}^{2}\sigma^{2}\omega^{2}}{4}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}k^{2}.
Reorganizando:
k^{4}=\omega^{2}\Big(\mu_{o}\varepsilon k^{2}+\frac{\mu_{o}^{2}\sigma^{2}}{4}\Big).
Isolando \omega^{2} e depois \omega resulta
\omega^{2}=\frac{k^{4}}{\mu_{o}\varepsilon k^{2}+\dfrac{\mu_{o}^{2}\sigma^{2}}{4}} \quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{k^{2}}{\sqrt{\mu_{o}\varepsilon\!\left(k^{2}+\dfrac{\mu_{o}\sigma^{2}}{4\varepsilon}\right)}}.
Isto prova a relação de dispersão pedida no item (b).

Passo 8

Para achar a profundidade de penetração \delta=1/\eta é conveniente obter \eta explicitamente em função de \omega. Voltemos à relação
\widetilde{k}^{2}=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}+i\mu_{o}\sigma\omega.
Seja a=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2} e b=\mu_{o}\sigma\omega. Então queremos a parte imaginária da raiz quadrada de a+ib. Para uma raiz complexa \sqrt{a+ib}=u+iv com u,v\ge0 (escolhemos o sinal apropriado para atenuação), seguem as fórmulas padrão
u=\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}},\qquad v=\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}.
Aqui v=\eta. Calculamos primeiro
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{\mu_{o}^{2}\varepsilon^{2}\omega^{4}+\mu_{o}^{2}\sigma^{2}\omega^{2}} =\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}\sqrt{1+\Big(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^{2}}.
Portanto
\eta^{2}=v^{2}=\frac{1}{2}\big(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\big) =\frac{1}{2}\mu_{o}\varepsilon\omega^{2}\Big[\sqrt{1+\Big(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^{2}}-1\Big].

Passo 9

Extraímos \eta e, em seguida, \delta=1/\eta. Da equação anterior:
\eta=\omega\sqrt{\frac{\mu_{o}\varepsilon}{2}\Big[\sqrt{1+\Big(\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\Big)^{2}}-1\Big]}.
Logo
\delta=\frac{1}{\eta} =\frac{1}{\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{o}\varepsilon}{2}\Big[\sqrt{1+\big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\big)^{2}}-1\Big]}}.
Isso coincide com a expressão pedida no item (c).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0,\qquad \vec{\nabla}^{2}\vec{B}-\mu_{o}\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}-\mu_{o}\sigma\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=0.
(b) \displaystyle \omega(k)=\frac{k^{2}}{\sqrt{\mu_{o}\varepsilon\!\left(k^{2}+\dfrac{\mu_{o}\sigma^{2}}{4\varepsilon}\right)}}.
(c) \displaystyle \delta=\frac{1}{\omega\sqrt{\dfrac{\mu_{o}\varepsilon}{2}\Big[\sqrt{1+\big(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\big)^{2}}-1\Big]}}.

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