30-(UFPE-2018) Considere um condutor isotrópico e não magnético, de condutividade \sigma e permissividade \varepsilon. Suponha que \sigma e \varepsilon são constantes.
(a) A partir das equações de Maxwell, mostre que os campos \vec{E} e \vec{B} nesse meio são soluções das equações:
Considere agora uma onda eletromagnética que se propaga no espaço livre e incide normalmente sobre uma superfície plana de um meio condutor como o descrito acima, semi-infinito, situado em z>0. Ao penetrar nesse meio, os campos elétrico e magnético são da forma
onde w é a frequência angular e \widetilde{k} é o número d eonda complexo, ou seja, \widetilde{k}=k+i \eta, onde k=\operatorname{Re}(\widetilde{k}) e \eta=\operatorname{Im}(\widetilde{k}).
b) Mostre que a onda tem a relação de dispersão dada por
(b) Para uma onda que penetra no meio com forma \vec{E}(z,t)=\vec{E}_{o}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)} e \vec{B}(z,t)=\vec{B}_{o}e^{i(\widetilde{k}z-\omega t)}, mostrar que a relação de dispersão é
Informações relevantes dadas: meio linear, isotrópico, não magnético (\mu=\mu_{o}), \vec{J}=\sigma\vec{E}, forma de onda com número de onda complexo \widetilde{k}=k+i\eta. A resolução começa agora.
Passo 2
Escrevemos as equações de Maxwell relevantes e as leis constitutivas no meio:
No condutor ohmico temos a lei de Ohm local \vec{J}=\sigma\vec{E}. Para ondas eletromagnéticas harmônicas que penetram no condutor assumimos ausência de acumulação líquida de carga livre local (ou seja \rho=0 para o regime de ondas), portanto \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0. Também usamos \mu=\mu_{o} (não magnético).
Passo 3
Derivação da equação de onda para \vec{E}. Tomamos o rotacional de \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t:
Usamos \vec{J}=\sigma\vec{E} então \vec{\nabla}\times\vec{J}=\sigma(\vec{\nabla}\times\vec{E}). Substituindo e lembrando que \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t obtemos
Seja a=\mu_{o}\varepsilon\omega^{2} e b=\mu_{o}\sigma\omega. Então queremos a parte imaginária da raiz quadrada de a+ib. Para uma raiz complexa \sqrt{a+ib}=u+iv com u,v\ge0 (escolhemos o sinal apropriado para atenuação), seguem as fórmulas padrão