Semay - P8.45: Deseja-se construir um solenoide que terá resistência de
e produzirá um campo magnético de
no seu centro quando transporta uma corrente de 4, 00A. O solenoide deve ser construído de fio de cobre com diâmetro de
. Se o raio do solenoide for de
, determine:
(a) O número necessário de voltas do fio é:
voltas
(b) o comprimento necessário do solenoide é
[cm]
(a) O número necessário de voltas do fio é:
(b) o comprimento necessário do solenoide é
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado (todos em TeX):
(resistência do fio a
),
(campo desejado no centro),
(corrente que passará pelo solenoide), diâmetro do fio
, raio do solenoide
.
O que é pedido:
(a) o número de voltas do fio (número total de espiras) e
(b) o comprimento do solenoide em centímetros.
Observação: o enunciado não dá a resistividade do cobre; vou usar o valor padrão para cobre à temperatura ambiente . Também usarei a permeabilidade do vácuo
.
O que é pedido:
(a) o número de voltas do fio (número total de espiras) e
(b) o comprimento do solenoide em centímetros.
Observação: o enunciado não dá a resistividade do cobre; vou usar o valor padrão para cobre à temperatura ambiente
Passo 2
Princípio físico para o campo magnético no centro de um solenoide longo e estreito: a intensidade do campo no centro é dada por
onde
é o campo,
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente, e
é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide (espiras por metro). Aqui
, com
número de voltas e
comprimento do solenoide. Vou usar essa fórmula para relacionar
e
.
Explicando a fórmula de forma bem didática: cada volta produz um campo no seu centro; para muitas voltas uniformemente distribuídas ao longo de um comprimento
, os campos se somam e dá a expressão simples
.
vale
no SI.
Passo 3
Isolando
da fórmula do campo:
Agora substituo os valores numéricos (todos em unidades SI):
,
,
.
Calculemos primeiro :
Calculemos primeiro
Agora
Portanto o número de espiras por metro necessário é
.
Passo 4
Agora precisamos relacionar
e
com a resistência do fio. A resistência de um fio é dada por
onde
é a resistividade do material,
é o comprimento total do fio usado, e
é a área da seção transversal do fio. Vou calcular
a partir de
, depois transformar
em número de voltas
sabendo que cada volta tem comprimento igual à circunferência do solenoide.
Explicando: a resistência aumenta com o comprimento do fio e diminui com a área da seção;
é uma propriedade do material (cobre).
Passo 5
Calculemos a área da seção do fio (fio circular). O raio do fio é
. Então
Mostrei cada passo: converti mm para m, quadrando e multiplicando por
.
Passo 6
Isolando o comprimento total do fio
na fórmula da resistência:
Substituindo
,
,
,
Portanto o comprimento total de fio necessário para obter a resistência de
é
.
Passo 7
Cada volta do solenoide tem comprimento igual à circunferência de raio
, isto é
O número total de voltas
é então
Arredondando conforme os dados (3 algarismos significativos), temos
voltas.
Passo 8
Agora calculamos o comprimento físico do solenoide
a partir de
, que implica
Usando
e
,
Arredondando para três algarismos significativos:
.
Passo 9
Resumo rápido e verificação de consistência: com
de fio e circunferência de cada volta
obtemos
voltas. Com essa
distribuída ao longo de
obtemos densidade de espiras
, que junto com
dá
— ou seja, coerente com o pedido. Parabéns: apesar do aperto de tempo, a conta fecha!