Semay - P8.45: Deseja-se construir um solenoide que terá resistência de 5,00 \Omega\left(\mathrm{a} 20,0^{\circ} \mathrm{C}\right) e produzirá um campo magnético de 4,00 \times 10^{-2} \mathrm{~T} no seu centro quando transporta uma corrente de 4, 00A. O solenoide deve ser construído de fio de cobre com diâmetro de 0,5 \mathrm{~mm}. Se o raio do solenoide for de 1,00 \mathrm{~cm}, determine:
(a) O número necessário de voltas do fio é: \square voltas
(b) o comprimento necessário do solenoide é \_\_\_\_ [cm]

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado (todos em TeX):
\;R=5{,}00\\ \Omega (resistência do fio a 20{,}0^\circ\mathrm{C}), \;B=4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{T} (campo desejado no centro), \;I=4{,}00\\ \mathrm{A} (corrente que passará pelo solenoide), diâmetro do fio \;d=0{,}500\\ \mathrm{mm}, raio do solenoide \;r=1{,}00\\ \mathrm{cm}.
O que é pedido:
(a) o número de voltas do fio (número total de espiras) e
(b) o comprimento do solenoide em centímetros.
Observação: o enunciado não dá a resistividade do cobre; vou usar o valor padrão para cobre à temperatura ambiente \rho=1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}. Também usarei a permeabilidade do vácuo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.

Passo 2

Princípio físico para o campo magnético no centro de um solenoide longo e estreito: a intensidade do campo no centro é dada por
B=\mu_0 n I,
onde B é o campo, \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente, e n é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide (espiras por metro). Aqui \;n=\dfrac{N}{L}, com N número de voltas e L comprimento do solenoide. Vou usar essa fórmula para relacionar N e L.
Explicando a fórmula de forma bem didática: cada volta produz um campo no seu centro; para muitas voltas uniformemente distribuídas ao longo de um comprimento L, os campos se somam e dá a expressão simples B=\mu_0 (N/L) I. \mu_0 vale 4\pi\times10^{-7} no SI.

Passo 3

Isolando n da fórmula do campo:
n=\frac{B}{\mu_0 I}.
Agora substituo os valores numéricos (todos em unidades SI): \;B=4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{T}, \;I=4{,}00\\ \mathrm{A}, \;\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\,m/A}.
Calculemos primeiro \mu_0 I:
\mu_0 I = (4\pi\times10^{-7})\cdot 4{,}00 = 16\pi\times10^{-7}=5{,}02655\times10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m^{-1}}.
Agora
n=\frac{4{,}00\times10^{-2}}{5{,}02655\times10^{-6}}=7{,}957{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto o número de espiras por metro necessário é \displaystyle n\approx 7{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Agora precisamos relacionar N e L com a resistência do fio. A resistência de um fio é dada por
R=\rho\frac{\ell}{A},
onde \rho é a resistividade do material, \ell é o comprimento total do fio usado, e A é a área da seção transversal do fio. Vou calcular \ell a partir de R, depois transformar \ell em número de voltas N sabendo que cada volta tem comprimento igual à circunferência do solenoide.
Explicando: a resistência aumenta com o comprimento do fio e diminui com a área da seção; \rho é uma propriedade do material (cobre).

Passo 5

Calculemos a área da seção do fio (fio circular). O raio do fio é \;a=\dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}500\\ \mathrm{mm}}{2}=0{,}250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então
A=\pi a^2=\pi\left(0{,}250\times10^{-3}\right)^2 =\pi\cdot 6{,}25\times10^{-8} =1{,}9635\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
Mostrei cada passo: converti mm para m, quadrando e multiplicando por \pi.

Passo 6

Isolando o comprimento total do fio \ell na fórmula da resistência:
\ell=\frac{R A}{\rho}.
Substituindo \;R=5{,}00\\ \Omega, \;A=1{,}9635\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}, \;\rho=1{,}68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
\ell=\frac{5{,}00\cdot 1{,}9635\times10^{-7}}{1{,}68\times10^{-8}} =\frac{9{,}8175\times10^{-7}}{1{,}68\times10^{-8}} =58{,}432\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento total de fio necessário para obter a resistência de 5{,}00\\ \Omega é \ell\approx58{,}43\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cada volta do solenoide tem comprimento igual à circunferência de raio \;r=1{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}, isto é
\text{circunferência}=2\pi r=2\pi\cdot0{,}01=0{,}0628319\\ \mathrm{m}.ê
O número total de voltas N é então
N=\frac{\ell}{2\pi r}=\frac{58{,}432}{0{,}0628319}=930{,}0\\ \text{voltas}.
Arredondando conforme os dados (3 algarismos significativos), temos N\approx930 voltas.

Passo 8

Agora calculamos o comprimento físico do solenoide L a partir de n=N/L, que implica
L=\frac{N}{n}.
Usando N=930 e n=7{,}957{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}},
L=\frac{930}{7{,}957{,}8\times10^{3}}=0{,}11684\\ \mathrm{m}=11{,}684\\ \mathrm{cm}.
Arredondando para três algarismos significativos: L\approx11{,}7\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Resumo rápido e verificação de consistência: com \ell\approx58{,}43\\ \mathrm{m} de fio e circunferência de cada volta 0{,}06283\\ \mathrm{m} obtemos N\approx930 voltas. Com essa N distribuída ao longo de L\approx0{,}117\\ \mathrm{m} obtemos densidade de espiras n\approx7{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{m^{-1}}, que junto com I=4{,}00\\ \mathrm{A} B=\mu_0 n I\approx4{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{T} — ou seja, coerente com o pedido. Parabéns: apesar do aperto de tempo, a conta fecha!

Resposta

930 voltas\n
11{,}7\\ \mathrm{cm}

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