1. 11 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+4 y=e^{{4 x}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+4y=e^{\{4 x\}}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (isto é, resolver a equação para y em função de x, incluindo a constante de integração). Vou interpretar \,e^{\{4 x\}}\, como \,e^{4x}\, (as chaves aqui estão apenas agrupando o expoente). As informações relevantes: é uma equação diferencial de primeira ordem com termo 4y e termo independente e^{4x}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que usaremos). Quando temos uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
podemos usar o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}.
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por \mu(x) obtemos
\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y.
E, se \mu satisfaz \mu'=\mu P, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \frac{d}{dx}\big(\mu y\big), pois
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y.
Assim a equação se transforma numa forma integrável direta:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q(x),
que a gente integra em x. Um lembrete útil: para integrar exponenciais, \displaystyle\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso. Aqui P(x)=4 (constante) e Q(x)=e^{4x}. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\displaystyle\int 4\,dx}=e^{4x}.
Expliquei cada símbolo: P(x) é o coeficiente de y, \mu(x) é o fator que vamos multiplicar na equação para obter uma derivada exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{4x}. Fazendo isso temos:
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y = e^{4x}\cdot e^{4x}.
O lado esquerdo é, como prometido,
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big),
e o lado direito é
e^{4x}\cdot e^{4x}=e^{8x}.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dx}\big(e^{4x}y\big)=e^{8x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{4x}y=\int e^{8x}\,dx.
Usando a regra de integração de exponenciais, \displaystyle\int e^{8x}\,dx=\frac{1}{8}e^{8x}+C, obtemos
e^{4x}y=\frac{1}{8}e^{8x}+C,
onde C é a constante de integração (apareceu ao integrar).

Passo 6

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^{4x}:
y=\frac{\frac{1}{8}e^{8x}+C}{e^{4x}}.
Simplificando os termos exponenciais: e^{8x}/e^{4x}=e^{4x} e C/e^{4x}=C e^{-4x}. Então a solução geral é
y=\frac{1}{8}e^{4x}+C e^{-4x},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): derivando a solução obtida,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{8}\cdot 4e^{4x}+C\cdot(-4)e^{-4x}=\frac{1}{2}e^{4x}-4C e^{-4x}.
Somando 4y:
\frac{dy}{dx}+4y=\Big(\frac{1}{2}e^{4x}-4C e^{-4x}\Big)+4\Big(\frac{1}{8}e^{4x}+C e^{-4x}\Big) = \frac{1}{2}e^{4x}+ \frac{4}{8}e^{4x} +(-4C+4C)e^{-4x}=e^{4x}.
Como recuperamos o lado direito original, a solução está correta.

Resposta

\displaystyle y=\frac{1}{8}e^{4x}+C e^{-4x}

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