- 11 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+4 y=e^{{4 x}}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
(isto é, resolver a equação para
em função de
, incluindo a constante de integração). Vou interpretar
como
(as chaves aqui estão apenas agrupando o expoente). As informações relevantes: é uma equação diferencial de primeira ordem com termo
e termo independente
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que usaremos). Quando temos uma equação da forma
podemos usar o fator integrante
definido por
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por
obtemos
E, se
satisfaz
, então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Assim a equação se transforma numa forma integrável direta:
que a gente integra em
. Um lembrete útil: para integrar exponenciais,
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso. Aqui
(constante) e
. Calculamos o fator integrante:
Expliquei cada símbolo:
é o coeficiente de
,
é o fator que vamos multiplicar na equação para obter uma derivada exata.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso temos:
O lado esquerdo é, como prometido,
e o lado direito é
Portanto a equação transformada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Usando a regra de integração de exponenciais,
, obtemos
onde
é a constante de integração (apareceu ao integrar).
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os termos exponenciais:
e
. Então a solução geral é
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (importante para a prova): derivando a solução obtida,
Somando
:
Como recuperamos o lado direito original, a solução está correta.