- 5 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=x^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede que a resolvamos:
Informações relevantes:
- A equação envolve a derivada
e o termo . - O termo do lado direito é
. - Queremos encontrar a solução geral
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Vamos explicar um método padrão e bem didático para esse tipo de equação (não pule etapas): quando temos uma equação da forma
podemos usar o fator integrante
definido por
Por que isso funciona? Multiplicando a equação original por
temos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
e, como
(por definição de
), obtemos
Então basta integrar ambos os lados para obter
e, depois, dividir por
para achar
. É um truque que transforma a equação em uma integral simples.
Passo 3
Identificamos
e
na nossa equação:
Calculamos o fator integrante:
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo raciocínio do Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de
:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Precisamos calcular a integral
Vamos fazer integração por partes duas vezes. Lembre que para integração por partes usamos
- Primeira aplicação: escolha
e . Então e . Assim
- Segunda aplicação (na integral restante): calcule
. Use , , então , . Assim
Portanto
- Voltando:
Simplificando:
Fatorando
:
onde
é constante de integração (será incorporada à constante final).
Passo 6
Substituímos a integral encontrada no resultado do Passo 4:
onde
é uma constante (absorvendo
). Agora dividimos por
para isolar
:
Passo 7
Interpretação final: a solução geral da equação diferencial é a soma de uma solução particular (o polinômio
) e da solução geral da homogênea associada (constante vezes
). A constante
é arbitrária e será determinada por condição inicial, se houver.