1. 5 (F) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede que a resolvamos:
\frac{d y}{d x}+y=x^{2}.
Informações relevantes:
  • A equação envolve a derivada \frac{d y}{d x} e o termo y.
  • O termo do lado direito é x^{2}.
  • Queremos encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Vamos explicar um método padrão e bem didático para esse tipo de equação (não pule etapas): quando temos uma equação da forma
\frac{d y}{d x}+p(x)\,y=q(x),
podemos usar o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Por que isso funciona? Multiplicando a equação original por \mu(x) temos
\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y, porque
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\frac{d y}{d x}+ \mu'(x)y
e, como \mu'(x)=\mu(x)p(x) (por definição de \mu), obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x).
Então basta integrar ambos os lados para obter \mu(x)y e, depois, dividir por \mu(x) para achar y. É um truque que transforma a equação em uma integral simples.

Passo 3

Identificamos p(x) e q(x) na nossa equação:
p(x)=1,\qquad q(x)=x^{2}.
Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{d y}{d x}+e^{x}y=e^{x}x^{2}.
Pelo raciocínio do Passo 2, o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}x^{2}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int e^{x}x^{2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Precisamos calcular a integral
\int x^{2}e^{x}\,dx.
Vamos fazer integração por partes duas vezes. Lembre que para integração por partes usamos
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  1. Primeira aplicação: escolha u=x^{2} e dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx e v=e^{x}. Assim
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x e^{x}\,dx.
  1. Segunda aplicação (na integral restante): calcule \int x e^{x}\,dx. Use u=x, dv=e^{x}dx, então du=dx, v=e^{x}. Assim
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Portanto
\int 2x e^{x}\,dx = 2\big(x e^{x} - e^{x}\big)=2x e^{x} - 2e^{x}.
  1. Voltando:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \big(2x e^{x} - 2e^{x}\big).
Simplificando:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x}.
Fatorando e^{x}:
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (será incorporada à constante final).

Passo 6

Substituímos a integral encontrada no resultado do Passo 4:
e^{x}y = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) + C,
onde C é uma constante (absorvendo C_{1}). Agora dividimos por e^{x} para isolar y:
y = x^{2}-2x+2 + C e^{-x}.

Passo 7

Interpretação final: a solução geral da equação diferencial é a soma de uma solução particular (o polinômio x^{2}-2x+2) e da solução geral da homogênea associada (constante vezes e^{-x}). A constante C é arbitrária e será determinada por condição inicial, se houver.

Resposta

y(x)=x^{2}-2x+2 + C e^{-x}

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