- 6 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}\right) y=2, \quad x>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Pergunta: encontrar a solução geral
válida para
. Informações relevantes: a equação é de primeira ordem e linear; não há condição inicial dada, então devemos obter a família de soluções com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui temos
e
. Explico as letras:
-
é a derivada da função incógnita em relação a . -
é o coeficiente que multiplica . -
é o termo independente (lado direito).
O método mais direto daqui é usar o fator integrante (integrating factor). O fator integrante
é definido por
A ideia: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo numa derivada exata de
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante usando
:
onde usei que
(isso permite
e garante
). Agora multiplicamos a equação original por
:
Simplificando o termo do meio,
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Explico por que isso vale: pela regra do produto,
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá
(pois integrar a derivada recupera a função), e a do lado direito é uma integral polinomial simples:
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário). Agora isolamos
:
Observação: como
, dividir por
é permitido. A constante
pode ser qualquer número real; às vezes escrevemos
.
Passo 5
Verificação rápida (útil em prova): derive a solução encontrada e veja se a equação original é satisfeita. Seja
Então
Agora calcule o lado esquerdo da equação original:
Calcule termo a termo:
Portanto a solução verifica a equação original. Bom trabalho — você já tem a forma geral que vai aparecer na prova!