1. 6 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}\right) y=2, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}\right) y=2,\quad x>0
Pergunta: encontrar a solução geral y(x) válida para x>0. Informações relevantes: a equação é de primeira ordem e linear; não há condição inicial dada, então devemos obter a família de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui temos P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=2. Explico as letras:
  • \dfrac{dy}{dx} é a derivada da função incógnita y(x) em relação a x.
  • P(x) é o coeficiente que multiplica y.
  • Q(x) é o termo independente (lado direito).
O método mais direto daqui é usar o fator integrante (integrating factor). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
A ideia: multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo numa derivada exata de \mu(x)\,y.

Passo 3

Calculemos o fator integrante usando P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln x)=x,
onde usei que x>0 (isso permite \ln x e garante \exp(\ln x)=x). Agora multiplicamos a equação original por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx}+x\cdot\frac{1}{x}\,y = x\cdot 2.
Simplificando o termo do meio,
x\frac{dy}{dx}+y = 2x.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y. Ou seja,
\frac{d}{dx}(x\,y)=2x.
Explico por que isso vale: pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x\,y)=x\frac{dy}{dx}+\frac{dx}{dx}\,y = x\frac{dy}{dx}+y.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x\,y)\,dx = \int 2x\,dx.
A integral do lado esquerdo dá x\,y (pois integrar a derivada recupera a função), e a do lado direito é uma integral polinomial simples:
x\,y = \int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). Agora isolamos y:
y = \frac{x^2 + C}{x} = x + \frac{C}{x}.
Observação: como x>0, dividir por x é permitido. A constante C pode ser qualquer número real; às vezes escrevemos C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (útil em prova): derive a solução encontrada e veja se a equação original é satisfeita. Seja
y(x)=x+\frac{C}{x}.
Então
\frac{dy}{dx}=1 - \frac{C}{x^2}.
Agora calcule o lado esquerdo da equação original:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y = \left(1 - \frac{C}{x^2}\right) + \frac{1}{x}\left(x+\frac{C}{x}\right).
Calcule termo a termo:
\left(1 - \frac{C}{x^2}\right) + \left(1 + \frac{C}{x^2}\right) = 2.
Portanto a solução verifica a equação original. Bom trabalho — você já tem a forma geral que vai aparecer na prova!

Resposta

y(x)=x+\frac{C}{x},\quad C\in\mathbb{R}

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