1. 12 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x}, x>0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x},\qquad x>0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) válida para x>0.
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de y com y e a função \dfrac{1}{x}; o domínio considerado é x>0.

Passo 2

Reconhecendo a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: uma equação desse tipo pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui identificamos explicitamente
P(x)=1,\qquad Q(x)=\frac{1}{x}.
Para resolver esse tipo de equação usamos o fator integrante \mu(x), que é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou explicar o porquê: multiplicando a equação original por \mu(x) conseguimos transformar o lado esquerdo numa derivada exata do produto \mu(x)y, o que facilita a integração.

Passo 3

Calculemos o fator integrante usando P(x)=1:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Multiplicamos agora toda a equação por e^{x}. Isso nos dá
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=\frac{e^{x}}{x}.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x}y (pela regra do produto):
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=\frac{e^{x}}{x}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int \frac{e^{x}}{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Aqui temos um ponto importante: a integral \int \dfrac{e^{x}}{x}\,dx não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinomiais, exponenciais, logaritmos, trigonométricas simples etc.). Por isso introduzimos a função integral exponencial, definida (para x>0) por
\mathrm{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^{t}}{t}\,dt,
ou, mais objetivamente para nosso uso de primitiva,
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{Ei}(x)\bigr)=\frac{e^{x}}{x}.
Assim podemos escrever a primitiva como \int \dfrac{e^{x}}{x}\,dx=\mathrm{Ei}(x)+\text{constante}. Absorvendo constantes, temos
e^{x}y=\mathrm{Ei}(x)+C.

Passo 5

Isolando y,
y=e^{-x}\bigl(\mathrm{Ei}(x)+C\bigr).
Esse é o formato da solução geral. Aqui C é uma constante arbitrária real e a solução está bem definida para x>0 porque \mathrm{Ei}(x) é regular em x>0.

Passo 6

Interpretação em termos de solução particular + homogênea (útil na prova): a solução geral de uma equação linear é a soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea associada. A equação homogênea é
\frac{dy}{dx}+y=0,
cuja solução é
y_h=C e^{-x}.
Uma solução particular é y_p=e^{-x}\mathrm{Ei}(x). Assim a solução geral é
y=y_p+y_h=e^{-x}\mathrm{Ei}(x)+C e^{-x}=e^{-x}\bigl(\mathrm{Ei}(x)+C\bigr),
o que coincide com o que obtivemos.

Passo 7

Checagem rápida (para ter confiança): usando a propriedade \dfrac{d}{dx}\mathrm{Ei}(x)=\dfrac{e^{x}}{x}, calcule y' a partir de y=e^{-x}(\mathrm{Ei}(x)+C):
y'=-e^{-x}(\mathrm{Ei}(x)+C)+e^{-x}\cdot\frac{e^{x}}{x}=-y+\frac{1}{x}.
Reorganizando, obtemos y'+y=\dfrac{1}{x}, que é exatamente a equação original — portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{-x}\bigl(\mathrm{Ei}(x)+C\bigr),\qquad x>0,
onde C é constante arbitrária e \mathrm{Ei}(x) é a integral exponencial.

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