- 12 (M) Resolva:
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{x}, x>0.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
válida para
.
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de com
e a função
; o domínio considerado é
.
Informações relevantes dadas: a equação relaciona a derivada de
Passo 2
Reconhecendo a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: uma equação desse tipo pode ser escrita como
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui identificamos explicitamente
Para resolver esse tipo de equação usamos o fator integrante
, que é definido por
Vou explicar o porquê: multiplicando a equação original por
conseguimos transformar o lado esquerdo numa derivada exata do produto
, o que facilita a integração.
Passo 3
Calculemos o fator integrante usando
:
Multiplicamos agora toda a equação por
. Isso nos dá
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(pela regra do produto):
Portanto a equação fica
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Aqui temos um ponto importante: a integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares (polinomiais, exponenciais, logaritmos, trigonométricas simples etc.). Por isso introduzimos a função integral exponencial, definida (para
) por
ou, mais objetivamente para nosso uso de primitiva,
Assim podemos escrever a primitiva como
. Absorvendo constantes, temos
Passo 5
Isolando
,
Esse é o formato da solução geral. Aqui
é uma constante arbitrária real e a solução está bem definida para
porque
é regular em
.
Passo 6
Interpretação em termos de solução particular + homogênea (útil na prova): a solução geral de uma equação linear é a soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea associada. A equação homogênea é
cuja solução é
Uma solução particular é
. Assim a solução geral é
o que coincide com o que obtivemos.
Passo 7
Checagem rápida (para ter confiança): usando a propriedade
, calcule
a partir de
:
Reorganizando, obtemos
, que é exatamente a equação original — portanto a solução está correta.
Resposta
onde
é constante arbitrária e
é a integral exponencial.