11. \int \operatorname{cosec}^{4} x \cot ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int \operatorname{cosec}^4 x \,\cot^4 x\,dx. O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas, em que vamos usar a substituição u=\cot x e a identidade
1+\cot^2x=\operatorname{cosec}^2x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a isolar um fator \operatorname{cosec}^2x\,dx, pois du=-\operatorname{cosec}^2x\,dx. Note que
\operatorname{cosec}^4x \,\cot^4x = \cot^4x \,\operatorname{cosec}^2x \,\operatorname{cosec}^2x.

Passo 3

Substituímos \operatorname{cosec}^2x=1+\cot^2x e \operatorname{cosec}^2x\,dx = -du. Assim,
\operatorname{cosec}^4x \,\cot^4x\,dx = \cot^4x\,(1+\cot^2x)\,(\operatorname{cosec}^2x\,dx) = -\bigl(\cot^4x+\cot^6x\bigr)\,du.

Passo 4

Integral em u:
\int -\bigl(\cot^4x+\cot^6x\bigr)\,du = -\int (u^4+u^6)\,du = -\Bigl(\frac{u^5}{5} + \frac{u^7}{7}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando a x com u=\cot x, temos
-\Bigl(\frac{\cot^5x}{5} + \frac{\cot^7x}{7}\Bigr) + C.

Resposta

-\frac{\cot^5x}{5} - \frac{\cot^7x}{7} + C.

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