Sabendo que y_{1}=x^{-1 / 2} \cos x e y_{2}=x^{-1 / 2} \operatorname{sen} x formam um conjunto fundamental de soluções para x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) y=0 \mathrm{em}(0, \infty), encontre a solução geral para

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x^{2}y''+xy'+\Bigl(x^{2}-\tfrac14\Bigr)y=0
em (0,\infty) e informa que, para essa equação,
\displaystyle y_{1}=x^{-\frac12}\cos x e \displaystyle y_{2}=x^{-\frac12}\sin x
formam um conjunto fundamental de soluções. Queremos, então, a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Em toda equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, se \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto fundamental de soluções, a solução geral é a combinação linear
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Substituindo y_{1} e y_{2} na combinação linear, obtemos
y(x)=C_{1}\,x^{-\frac12}\cos x \;+\; C_{2}\,x^{-\frac12}\sin x.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{-\frac12}\cos x + C_{2}\,x^{-\frac12}\sin x.

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