Resolva o seguinte sistema linear utilizando a Decomposição LU:
\left\{\begin{array}{c} x_{1}+x_{2}+3 x_{4}=8 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=7 \\\\ 3 x_{1}-x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=14 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}-x_{4}=-7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear 4\times 4 e pede para resolvê-lo via decomposição LU (método de Doolittle). Vamos fatorar a matriz dos coeficientes em A = LU, onde L é unitária ( 1 na diagonal) e U é triangular superior, e depois resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Escrevendo o sistema na forma Ax=b, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -1 & -1 & 2\\\\ -1 & 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}8\\\ 7\\\ 14\\\ -7\end{pmatrix}.

Passo 3

Primeiro pivô é a_{11}=1. Calculamos os multiplicadores
l_{21}=\frac{2}{1}=2,\quad l_{31}=\frac{3}{1}=3,\quad l_{41}=\frac{-1}{1}=-1
e eliminamos a primeira coluna embaixo do pivô:
U^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & -1 & -1 & -5\\\\ 0 & -4 & -1 & -7\\\\ 0 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Segundo pivô é U^{(1)}_{22}=-1. Calculamos
l_{32}=\frac{-4}{-1}=4,\quad l_{42}=\frac{3}{-1}=-3
e eliminamos na segunda coluna:
U^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & -1 & -1 & -5\\\\ 0 & 0 & 3 & 13\\\\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{pmatrix}.

Passo 5

Terceiro pivô é U^{(2)}_{33}=3. O único multiplicador abaixo dele é
l_{43}=\frac{0}{3}=0,
logo a matriz U final é
U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & -1 & -1 & -5\\\\ 0 & 0 & 3 & 13\\\\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{pmatrix},
e a matriz L que coleta todos os l_{ij} (com 1 na diagonal) é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 4 & 1 & 0\\\\ -1 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Resolvemos Ly=b por substituição para obter y:
\begin{aligned} y_1 &= 8,\\\ y_2 &= 7 - 2\,y_1 = 7 - 16 = -9,\\\ y_3 &= 14 - 3\,y_1 - 4\,y_2 = 14 - 24 + 36 = 26,\\\ y_4 &= -7 -(-1)\,y_1 -(-3)\,y_2 = -7 +8 -27 = -26. \end{aligned}

Passo 7

Agora resolvemos Ux=y por substituição reversa:
\begin{aligned} x_4 &= \frac{y_4}{-13} = \frac{-26}{-13} = 2,\\\ x_3 &= \frac{y_3 - 13\,x_4}{3} = \frac{26 - 13\cdot2}{3} = 0,\\\ x_2 &= -\,y_2 - x_3 - 5\,x_4 = -(-9) - 0 - 10 = -1,\\\ x_1 &= y_1 - x_2 - 3\,x_4 = 8 - (-1) - 6 = 3. \end{aligned}

Resposta

(x_1,x_2,x_3,x_4) = (3,\,-1,\,0,\,2).

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