\left(0,2\right. pts) Calcule \frac{d y}{d x} onde y e definido pela equaçào
y x^{3}+x y^{2}=y-1
F. em seguida calcule \frac{d y}{d x}(0).

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y\,x^{3} + x\,y^{2} = y - 1
e pede ( 1) calcular \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita, usando regra do produto, e ( 2) avaliar \frac{dy}{dx} em x=0.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Para y\,x^{3} usamos produto:
\frac{d}{dx}(y\,x^{3}) = y'\,x^{3} + 3x^{2}\,y.
  • Para x\,y^{2} também:
\frac{d}{dx}(x\,y^{2}) = 1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y' = y^{2} + 2x\,y\,y'.
  • O lado direito y-1
\frac{d}{dx}(y-1)=y'.
Somando tudo:
y'\,x^{3} + 3x^{2}y + y^{2} + 2x\,y\,y' = y'.

Passo 3

Agrupando os termos com y' em um lado:
y'\,x^{3} + 2x\,y\,y' - y' = -3x^{2}y - y^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; y'\,(x^{3} + 2x\,y - 1) = -3x^{2}y - y^{2}.
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^{2}y - y^{2}}{\,x^{3} + 2x\,y - 1\,}.

Passo 4

Para \displaystyle\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}, primeiro achamos y(0) na equação original com x=0:
0 \;=\;y - 1 \quad\Longrightarrow\quad y(0)=1.
Substituindo em \frac{dy}{dx}:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = \frac{-3\cdot0^{2}\cdot1 - 1^{2}}{0^{3} + 2\cdot0\cdot1 -1} = \frac{-1}{-1} = 1.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^{2}y - y^{2}}{x^{3} + 2x\,y - 1}\n \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 1.

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