11- A massa atômica do { }^{14} \mathrm{C} é igual a 14,003242 u. Mostre que o decaimento \beta^{-}do { }^{14} \mathrm{C} é energeticamente possível e calcule a energia liberada nesse decaimento.

Passo 1

O enunciado dá a massa atômica do { }^{14}\mathrm{C} e pede duas coisas:
  • Mostrar que o decaimento \beta^{-} de { }^{14}\mathrm{C} é energeticamente possível.
  • Calcular a energia liberada nesse decaimento.
Informações fornecidas e que vamos usar:
  • Massa atômica do { }^{14}\mathrm{C}: \,M\big({}^{14}\mathrm{C}\big)=14{,}003242\\ \mathrm{u} (fornecida pelo enunciado).
  • Para calcular a energia precisamos também da massa atômica do produto do decaimento, que é { }^{14}\mathrm{N}. Usarei o valor tabelado: \,M\big({}^{14}\mathrm{N}\big)=14{,}00307400443\\ \mathrm{u}.
    O que se pede é, portanto, comparar as massas atômicas e converter a diferença de massa em energia.

Passo 2

Entendendo o que é energeticamente possível: para um decaimento espontâneo ser energeticamente permitido, a energia de decaimento (valor Q) deve ser positiva. Vou explicar por que, ao usar massas atômicas, a fórmula do Q para \beta^{-} é simples.
Breve derivação (sem pular etapas):
  • Denotar por M_{\text{átomo}}(A,Z)á a massa atômica (núcleo + Z elétrons).
  • A reação atômica é \,{}^{14}\mathrm{C} (átomo com Z elétrons) \to {}^{14}\mathrm{N} (átomo com Z+1 elétrons) +\\ e^- + \bar{\nu}_e.
  • Usando massas nucleares M_{\text{nuc}} e massa do elétron m_e: M_{\text{átomo}}(^{14}\mathrm{C}) = M_{\text{nuc}}(^{14}\mathrm{C}) + Z\,m_e,á
M_{\text{átomo}}(^{14}\mathrm{N}) = M_{\text{nuc}}(^{14}\mathrm{N}) + (Z+1)\,m_e.á
  • A definição de Q (energia liberada) em termos de massas nucleares é Q = \bigl[M_{\text{nuc}}(^{14}\mathrm{C}) - M_{\text{nuc}}(^{14}\mathrm{N}) - m_e\bigr]c^2.
  • Substituindo as relações entre massas atômicas e nucleares, obtemos (as massas dos elétrons se cancelam propriamente) Q = \bigl[M_{\text{átomo}}(^{14}\mathrm{C}) - M_{\text{átomo}}(^{14}\mathrm{N})\bigr]c^2.áá
Portanto, para \beta^{-} pode-se usar diretamente a diferença entre massas atômicas: se \,M(^{14}\mathrm{C})-M(^{14}\mathrm{N})>0 então Q>0 e o decaimento é energeticamente possível.

Passo 3

Calcular a diferença de massas (mostrando a conta):
\Delta m \;=\; M\bigl(^{14}\mathrm{C}\bigr)-M\bigl(^{14}\mathrm{N}\bigr) =14{,}003242\\ \mathrm{u}-14{,}00307400443\\ \mathrm{u}.
Fazendo a subtração:
\Delta m = 0{,}00016799557\\ \mathrm{u}\approx 1{,}67996\times10^{-4}\\ \mathrm{u}.
Para evitar excesso de casas insignificantes, arredondamos de forma conveniente para cálculos práticos:
\Delta m \approx 1{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{u}.

Passo 4

Converter a diferença de massa em energia: usar o fator de conversão padrão
1\\ \mathrm{u} = 931{,}494\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
Assim
Q = \Delta m\\ c^{2} = \bigl(1{,}67996\times10^{-4}\\ \mathrm{u}\bigr)\times931{,}494\\ \mathrm{MeV}/\mathrm{u}.
Calculando:
Q \approx 0{,}00016799557\times931{,}494\\ \mathrm{MeV} \approx 0{,}156504\\ \mathrm{MeV}.
Em unidades mais usuais para energias de decaimento:
Q \approx 0{,}1565\\ \mathrm{MeV} \approx 156{,}5\\ \mathrm{keV}.

Passo 5

Interpretação física e conclusão didática: o valor de Q é positivo ( Q\approx0{,}1565\\ \mathrm{MeV}), portanto o decaimento \beta^{-} de { }^{14}\mathrm{C} é energeticamente possível. Na prática, essa energia é disponibilizada como energia cinética do elétron emitido e do antineutrino (com espectro contínuo), e também como pequena energia de recoíl do núcleo. O valor calculado é o valor máximo disponível para os produtos (pico energético máximo do elétron beta, desprezando efeitos de interação fina).

Resposta

Sim.
Q \approx 0{,}1565\\ \mathrm{MeV} \approx 156{,}5\\ \mathrm{keV}

Exercícios relacionados