17- Uma amostra de 12,0 \mathrm{~g} de carbono de matéria viva decai a uma taxa de 184 decaimentos/min em virtude do { }^{14} \mathrm{C} radioativo que contém. Qual será a taxa de decaimento dessa amostra em (a) 1000 anos e (b) 50000 anos?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa de decaimento da amostra depois de dois tempos diferentes. Dados fornecidos:
  • Massa da amostra: 12{,}0\\ \text{g} (informação dada, mas a taxa inicial já é fornecida).
  • Taxa inicial (no tempo t=0): A_0 = 184\\ \text{decaimentos/min}.
  • Quer-se a taxa de decaimento nos tempos:
    • (a) t=1000\\ \text{anos}.
    • (b) t=50000\\ \text{anos}.
Além disso usarei a meia-vida do {}^{14}\mathrm{C}, que é um valor padrão conhecido:
  • Meia-vida: T_{1/2}=5730\\ \text{anos}.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas: a atividade radioativa decai exponencialmente no tempo. A fórmula geral é
A(t)=A_0 e^{-\lambda t},
onde:
  • A(t) é a atividade (taxa de decaimentos por minuto) no tempo t.
  • A_0 é a atividade inicial (aqui 184\\ \text{decaimentos/min}).
  • \lambda é a constante de decaimento (unidade: \text{anos}^{-1} se t em anos).
  • t é o tempo decorrido (em anos).
Relação entre \lambda e a meia-vida T_{1/2}:
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Explicando em palavras: a meia-vida é o tempo necessário para a atividade cair à metade; a constante \lambda é a taxa proporcional que aparece na exponencial.

Passo 3

Calcular a constante de decaimento \lambda. Usando T_{1/2}=5730\\ \text{anos}:
\lambda=\frac{\ln 2}{5730}.
Agora o valor numérico:
\lambda=\frac{0{,}693147\ldots}{5730}\approx 0{,}00012097\\ \text{anos}^{-1}.
(Arredondei a \lambda para identificar os próximos passos; os arredondamentos finais serão feitos no resultado.)

Passo 4

Calcular A(1000). Aplicando a fórmula exponencial com t=1000\\ \text{anos}:
A(1000)=A_0 e^{-\lambda\cdot 1000}=184\,e^{-(0{,}00012097)\cdot 1000}.
Calculemos o expoente:
\lambda\cdot 1000 \approx 0{,}12097.
Logo
e^{-0{,}12097}\approx 0{,}88615.
Multiplicando:
A(1000)\approx 184\times 0{,}88615 \approx 163{,}1\\ \text{decaimentos/min}.
Interpretação breve: depois de 1000 anos a atividade caiu um pouco, de 184 para cerca de 163{,}1\\ \text{decaimentos/min}.

Passo 5

Calcular A(50000). Aplicando a mesma fórmula com t=50000\\ \text{anos}:
A(50000)=184\,e^{-\lambda\cdot 50000}.
Calculemos o expoente:
\lambda\cdot 50000 \approx 0{,}00012097\times 50000 \approx 6{,}0485.
Logo
e^{-6{,}0485}\approx 0{,}002369.
Multiplicando:
A(50000)\approx 184\times 0{,}002369 \approx 0{,}436\\ \text{decaimentos/min}.
Interpretação breve: depois de 50000 anos a atividade é muito pequena, cerca de 0{,}436\\ \text{decaimentos/min}.

Passo 6

Observações finais e incentivo: a massa da amostra ( 12{,}0\\ \text{g}) não precisou ser usada porque o enunciado já deu a atividade inicial A_0. O procedimento que fiz é o padrão em qualquer questão de decaimento radioativo: ligar meia-vida a \lambda e usar a exponencial. Você já pode aplicar isso em outros problemas semelhantes — com calma, seguindo os passos que fizemos aqui. Força nos estudos, tá dando certo!

Resposta

(a) 163{,}1\\ \text{decaimentos/min}
(b) 0{,}436\\ \text{decaimentos/min}

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