17- Uma amostra de
de carbono de matéria viva decai a uma taxa de 184 decaimentos/min em virtude do
radioativo que contém. Qual será a taxa de decaimento dessa amostra em (a) 1000 anos e (b) 50000 anos?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a taxa de decaimento da amostra depois de dois tempos diferentes. Dados fornecidos:
- Massa da amostra:
(informação dada, mas a taxa inicial já é fornecida). - Taxa inicial (no tempo
): . - Quer-se a taxa de decaimento nos tempos:
- (a)
. - (b)
.
- (a)
Além disso usarei a meia-vida do
, que é um valor padrão conhecido:
- Meia-vida:
.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas: a atividade radioativa decai exponencialmente no tempo. A fórmula geral é
onde:
-
é a atividade (taxa de decaimentos por minuto) no tempo . -
é a atividade inicial (aqui ). -
é a constante de decaimento (unidade: se em anos). -
é o tempo decorrido (em anos).
Relação entre
e a meia-vida
:
Explicando em palavras: a meia-vida é o tempo necessário para a atividade cair à metade; a constante
é a taxa proporcional que aparece na exponencial.
Passo 3
Calcular a constante de decaimento
. Usando
:
Agora o valor numérico:
(Arredondei a
para identificar os próximos passos; os arredondamentos finais serão feitos no resultado.)
Passo 4
Calcular
. Aplicando a fórmula exponencial com
:
Calculemos o expoente:
Logo
Multiplicando:
Interpretação breve: depois de
anos a atividade caiu um pouco, de
para cerca de
.
Passo 5
Calcular
. Aplicando a mesma fórmula com
:
Calculemos o expoente:
Logo
Multiplicando:
Interpretação breve: depois de
anos a atividade é muito pequena, cerca de
.
Passo 6
Observações finais e incentivo: a massa da amostra (
) não precisou ser usada porque o enunciado já deu a atividade inicial
. O procedimento que fiz é o padrão em qualquer questão de decaimento radioativo: ligar meia-vida a
e usar a exponencial. Você já pode aplicar isso em outros problemas semelhantes — com calma, seguindo os passos que fizemos aqui. Força nos estudos, tá dando certo!
Resposta
(a)
(b)
(b)