2.11- Medidas precisas de temperatura são geralmente realizadas com base na variação da resistência elétrica de um metal. A resistência varia aproximadamente de acordo com a expressão R=R_{0}(1+A T), onde R_{0} e A são constantes e T é a temperatura. Certo elemento tem resistência de 50,0 \Omega a 25,00^{\circ} \mathrm{C} e de 71,5 \Omega a 230^{\circ} \mathrm{C}.
Calcule
(a) os valores das constantes A e R_{0}.
(b) a temperatura em que R=89,0 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá a relação aproximada entre resistência e temperatura
R = R_{0}\bigl(1 + A T\bigr),
onde R_{0} e A são constantes e T é a temperatura (em ^\circ\mathrm{C}). Os dados fornecidos são:
  • R(25{,}00^\circ\mathrm{C}) = 50{,}0\\ \Omega. Ou seja, R_{1}=50{,}0\\ \Omega e T_{1}=25{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • R(230^\circ\mathrm{C}) = 71{,}5\\ \Omega. Ou seja, R_{2}=71{,}5\\ \Omega e T_{2}=230^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) calcular A e R_{0};
(b) determinar a temperatura T para a qual R=89{,}0\\ \Omega.

Passo 2

Observação importante e estratégia (passo-a-passo): a fórmula pode ser escrita como
R = R_{0} + (R_{0}A)\,T,
ou seja, é uma relação linear entre R e T com intercepto R_{0} (quando T=0) e coeficiente angular m=R_{0}A. Assim podemos:
  1. calcular a inclinação da reta m a partir dos dois pontos (T_{1},R_{1}) e (T_{2},R_{2}) usando a fórmula da inclinação,
  2. obter R_{0} usando R_{1}=R_{0}+mT_{1},
  3. obter A por A=m/R_{0}.
Vou aplicar essas três etapas numéricas.

Passo 3

Calcular a inclinação m da reta (variação de R por grau Celsius):
m=\frac{R_{2}-R_{1}}{T_{2}-T_{1}} =\frac{71{,}5-50{,}0}{230-25{,}00} =\frac{21{,}5}{205} =\frac{43}{410} \approx 0{,}1048780488\\ \Omega/^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular R_{0} (intercepto) usando R_{1}=R_{0}+mT_{1}. Então
R_{0}=R_{1}-mT_{1} =50{,}0 - \frac{43}{410}\cdot 25{,}00 =50{,}0 - \frac{1075}{410} =\frac{19425}{410} \approx 47{,}37804878\\ \Omega.
Explicando: R_{0} é a resistência hipotética à temperatura T=0^\circ\mathrm{C} segundo o modelo linear; a conta acima subtrai a contribuição linear mT_{1} do valor medido R_{1}.

Passo 5

Calcular A usando m=R_{0}A, isto é A=m/R_{0}. Usando os valores encontrados:
A=\frac{m}{R_{0}}=\frac{\tfrac{43}{410}}{\tfrac{19425}{410}}=\frac{43}{19425}\approx 0{,}0022132213\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Comentário didático curto: A é a sensibilidade relativa da resistência por grau Celsius; unidade é por grau Celsius ( ^\circ\mathrm{C}^{-1}). Numericamente, cada grau causa cerca de 0{,}221\% de mudança relativa na resistência, porque A\approx0{,}002213 e 0{,}002213\times100\% \approx 0{,}221\%.

Passo 6

Resolver a parte (b): encontrar T tal que R=89{,}0\\ \Omega. Da fórmula
R=R_{0}(1+AT)\quad\Rightarrow\quad T=\frac{R/R_{0}-1}{A}.
Substituindo os valores exatos (usando as frações obtidas) há uma simplificação conveniente:
R_{0}=\frac{19425}{410},\qquad A=\frac{43}{19425},
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T=\frac{R/R_{0}-1}{A} =\frac{\dfrac{410R}{19425}-1}{\dfrac{43}{19425}} =\frac{410R-19425}{43}.
Agora com R=89{,}0\\ \Omega:
T=\frac{410\cdot 89{,}0 - 19425}{43}=\frac{36490 - 19425}{43}=\frac{17065}{43}\approx 396{,}8604651\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: segundo o modelo linear dado, a resistência 89{,}0\\ \Omega corresponde a cerca de 396{,}86^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) A=0{,}0022132213\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},\quad R_{0}=47{,}37804878\\ \Omega
(b) T=396{,}8604651^\circ\mathrm{C}

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