( 2,5 pontos) Determine a trajetória de uma partícula de carga
em um campo magnético constante e uniforme,
, com as condições iniciais:
. Qual o raio do círculo?
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de carga
, e massa
num campo magnético homogêneo
. As condições iniciais são:
- velocidade inicial
, ou seja . - posição inicial
, ou seja .
O que se pede:
- determinar a trajetória
da partícula; - determinar o raio do círculo percorrido.
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento (lei de força magnética sobre carga):
Se representarmos
e
, o produto vetorial é
Portanto as componentes da equação do movimento são
Definimos a frequência angular
que é positiva porque
e
(se
for negativo o sinal de
muda). Note que
é constante; com
segue
e o movimento fica confinado ao plano
.
Passo 3
As duas primeiras equações formam um sistema equivalente a uma equação harmônica. Por exemplo:
que tem solução geral
. Usando as equações primeiras e as condições iniciais
, uma solução simples e conveniente é
Verificação rápida: em
tem-se
; e substituindo nas equações diferenciais obtém-se
e
, portanto satisfaz o sistema.
Passo 4
Agora integramos as componentes da velocidade para obter a posição. Seja
e
. Integração direta dá
Calculando a integral
, obtemos
Para
:
E
para todo
. Assim a trajetória vetorial é
Passo 5
Mostramos que isto é um círculo: calcule
ou seja a partícula descreve um círculo de raio
. Substituindo
obtemos a forma usual
O centro do círculo é a origem
, visto que
. Para
tem-se
, conforme a condição inicial dada.
Passo 6
Interpretação física curta (útil para a prova):
é a frequência ciclotrônica; o raio
é a fórmula geral (aqui
pois a velocidade inicial é perpendicular a
). A partícula se move com velocidade tangencial de módulo constante
ao longo do círculo.
Passo 7
Sobre o sentido de rotação: com
no sentido
e
, a solução acima corresponde a rotação no sentido anti-horário (visto de cima, olhando na direção +z). Isso pode ajudar a checar sinais em exercícios semelhantes.