( 2,5 pontos) Determine a trajetória de uma partícula de carga q>0 em um campo magnético constante e uniforme, \vec{B}=(0,0, B), com as condições iniciais: \vec{v}(0)=v_{0} \hat{j}, \vec{x}(0)=-\frac{m v_{0}}{q B} \hat{i}. Qual o raio do círculo?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de carga \,q>0, e massa m num campo magnético homogêneo \vec{B}=(0,0,B). As condições iniciais são:
  • velocidade inicial \vec{v}(0)=v_{0}\,\hat{j}, ou seja \,v_x(0)=0,\;v_y(0)=v_0,\;v_z(0)=0.
  • posição inicial \vec{x}(0)=-\dfrac{m v_{0}}{q B}\,\hat{i}, ou seja \,x(0)=-\dfrac{m v_0}{qB},\;y(0)=0,\;z(0)=0.
O que se pede:
  1. determinar a trajetória \vec{x}(t) da partícula;
  2. determinar o raio do círculo percorrido.

Passo 2

Escrevemos a equação do movimento (lei de força magnética sobre carga):
m\frac{d\vec{v}}{dt}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Se representarmos \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) e \vec{B}=(0,0,B), o produto vetorial é
\vec{v}\times\vec{B}=(v_y B,\,-v_x B,\,0).
Portanto as componentes da equação do movimento são
\frac{dv_x}{dt}=\frac{qB}{m}\,v_y,\qquad \frac{dv_y}{dt}=-\frac{qB}{m}\,v_x,\qquad \frac{dv_z}{dt}=0.
Definimos a frequência angular
\omega:=\frac{qB}{m},
que é positiva porque q>0 e B>0 (se B for negativo o sinal de \omega muda). Note que \,v_z(t) é constante; com v_z(0)=0 segue v_z(t)=0 e o movimento fica confinado ao plano xy.

Passo 3

As duas primeiras equações formam um sistema equivalente a uma equação harmônica. Por exemplo:
\frac{d^2 v_x}{dt^2}=\omega\frac{dv_y}{dt}=-\omega^2 v_x,
que tem solução geral v_x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t). Usando as equações primeiras e as condições iniciais v_x(0)=0,\;v_y(0)=v_0, uma solução simples e conveniente é
v_x(t)=v_0\sin(\omega t),\qquad v_y(t)=v_0\cos(\omega t).
Verificação rápida: em t=0 tem-se v_x(0)=0,\;v_y(0)=v_0; e substituindo nas equações diferenciais obtém-se \frac{dv_x}{dt}=\omega v_0\cos(\omega t)=\omega v_y e \frac{dv_y}{dt}=-\omega v_0\sin(\omega t)=-\omega v_x, portanto satisfaz o sistema.

Passo 4

Agora integramos as componentes da velocidade para obter a posição. Seja x(0)=x_0=-\dfrac{m v_0}{qB}=-\dfrac{v_0}{\omega} e y(0)=0. Integração direta dá
x(t)=x_0+\int_0^t v_x(t')\,dt' = -\frac{v_0}{\omega} + v_0\int_0^t \sin(\omega t')\,dt'.
Calculando a integral \int_0^t \sin(\omega t')\,dt' = \dfrac{1}{\omega}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr), obtemos
x(t)=-\frac{v_0}{\omega} + \frac{v_0}{\omega}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr) = -\frac{v_0}{\omega}\cos(\omega t).
Para y(t):
y(t)=0+\int_0^t v_y(t')\,dt' = v_0\int_0^t \cos(\omega t')\,dt' = \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t).
E z(t)=0 para todo t. Assim a trajetória vetorial é
\vec{x}(t) = -\frac{v_0}{\omega}\cos(\omega t)\,\hat{i} + \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)\,\hat{j}.

Passo 5

Mostramos que isto é um círculo: calcule
x(t)^2+y(t)^2=\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2\bigl(\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)\bigr)=\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2,
ou seja a partícula descreve um círculo de raio R=\dfrac{v_0}{\omega}. Substituindo \omega=\dfrac{qB}{m} obtemos a forma usual
R=\frac{m v_0}{q B}.
O centro do círculo é a origem (0,0), visto que x^2+y^2=R^2. Para t=0 tem-se x(0)=-R,\;y(0)=0, conforme a condição inicial dada.

Passo 6

Interpretação física curta (útil para a prova): \omega=\dfrac{qB}{m} é a frequência ciclotrônica; o raio R=\dfrac{m v_\perp}{qB} é a fórmula geral (aqui v_\perp=v_0 pois a velocidade inicial é perpendicular a \vec{B}). A partícula se move com velocidade tangencial de módulo constante v_0 ao longo do círculo.

Passo 7

Sobre o sentido de rotação: com \vec{B} no sentido +\hat{k} e q>0, a solução acima corresponde a rotação no sentido anti-horário (visto de cima, olhando na direção +z). Isso pode ajudar a checar sinais em exercícios semelhantes.

Resposta

\displaystyle \vec{x}(t) = -\frac{v_0}{\omega}\cos(\omega t)\,\hat{i} + \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)\,\hat{j},\quad \omega=\frac{qB}{m}.\newline
\displaystyle R=\frac{v_0}{\omega}=\frac{m v_0}{q B}.

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