2.7- Em uma escala Estranha de temperatura, o ponto de fusão da água é -15,0^{\circ} \mathrm{E} e o ponto de ebulição é 60,0^{\circ} \mathrm{E}.
Determine a equação de conversão para a escala Celsius.

Passo 1

O enunciado dá duas correspondências entre os pontos importantes da água nas duas escalas (peguei estes valores do enunciado):
  • ponto de fusão da água: -15{,}0^\circ\mathrm{E} corresponde a 0{,}0^\circ\mathrm{C};
  • ponto de ebulição da água: 60{,}0^\circ\mathrm{E} corresponde a 100{,}0^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido: determinar a equação de conversão para a escala Celsius — isto é, uma fórmula que, dado um valor em graus ^\circ\mathrm{E}, forneça o correspondente em graus ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos modelar a relação como uma função afim (reta), porque escalas de temperatura convencionais são proporcionais e deslocadas entre si — isto é, existe uma relação linear entre as duas escalas. Para ficar claro, defina:
  • C = temperatura em ^\circ\mathrm{C};
  • E = temperatura em ^\circ\mathrm{E}.
Então assumimos que
C = a\,E + b,
onde a (a inclinação) e b (o intercepto) são constantes desconhecidas que vamos determinar usando os dois pontos dados.

Passo 3

Usando as duas correspondências do enunciado, escrevemos o sistema substituindo os pares (E,C):
Para (E,C)=(-15,0):
0 = a\cdot(-15) + b.
Para (E,C)=(60,100):
100 = a\cdot 60 + b.

Passo 4

Resolvemos o sistema. Primeiro, subtrai-se a primeira equação da segunda para eliminar b:
100 - 0 = a\cdot(60 - (-15)).
O lado direito é a\cdot(60+15)=a\cdot 75. Logo,
100 = 75\,a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}.

Passo 5

Agora achamos b usando a primeira equação 0 = a\cdot(-15) + b:
b = 15\,a = 15\cdot\frac{4}{3} = 15\cdot\frac{4}{3} = 20.

Passo 6

Substituindo a e b na forma C=aE+b, obtemos a equação de conversão desejada:
C = \frac{4}{3}\,E + 20.
Como verificação rápida: para E=-15 obtemos C= \tfrac{4}{3}(-15)+20= -20+20=0 e para E=60 obtemos C=\tfrac{4}{3}\cdot60+20=80+20=100, que confere com os pontos dados.

Resposta

C = \frac{4}{3}\,E + 20

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