2.11 A metal block of mass
slides on a horizontal surface that has been lubricated with a heavy oil so that the block suffers a viscous resistance that varies as the
power of the speed:
If the initial speed of the block is
at
, show that the block cannot travel farther than
。
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei exatamente do texto do problema):
- A força de resistência viscosa sobre o bloco é
onde . - A massa do bloco é
. - No ponto
a velocidade inicial é .
O que o problema pede: mostrar que o bloco não pode percorrer mais do que
Passo 2
Vamos escrever a segunda lei de Newton para o bloco. A resultante das forças é a massa vezes a aceleração, isto é
Aqui
é a aceleração do bloco e
é a velocidade. Note que a aceleração pode ser escrita em função de
e
usando a regra da cadeia:
e
. Como
, obtemos a identidade útil
Essa identidade é muito prática quando queremos relacionar velocidade e posição.
Passo 3
Substituindo
e a força dada na equação de Newton, fica
Passo 4
Assumimos
enquanto o bloco estiver em movimento (temos
e até parar a velocidade permanece não-negativa). Podemos dividir ambos os lados por
(válido para
) para simplificar:
Passo 5
Agora separamos as variáveis para integrar em
e
. Escrevemos
Escolhemos os limites de integração: quando
temos
; quando o bloco parar a velocidade será
e a posição será
(a distância máxima que queremos achar). Integramos ambos os lados com esses limites:
Passo 6
Calculemos as integrais. A primitiva de
é
, portanto o lado esquerdo vale
O lado direito é simples:
Igualando as duas expressões obtemos
Passo 7
Cancelando os sinais negativos e isolando
achamos
Portanto a distância máxima que o bloco pode percorrer antes de parar é exatamente
. Como isso é um valor finito, concluímos que o bloco não pode viajar mais do que esse comprimento.