2.11 A metal block of mass m slides on a horizontal surface that has been lubricated with a heavy oil so that the block suffers a viscous resistance that varies as the \frac{3}{2} power of the speed:
F(v)=-c v^{3 / 2}
If the initial speed of the block is v_{0} at x=0, show that the block cannot travel farther than 2 m v_{0}^{1 / 2} / c

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei exatamente do texto do problema):
  • A força de resistência viscosa sobre o bloco é F(v)=-c\,v^{3/2}, onde c>0.
  • A massa do bloco é m.
  • No ponto x=0 a velocidade inicial é v(0)=v_{0}>0.
    O que o problema pede: mostrar que o bloco não pode percorrer mais do que
\frac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}.

Passo 2

Vamos escrever a segunda lei de Newton para o bloco. A resultante das forças é a massa vezes a aceleração, isto é
m a = F(v).
Aqui a é a aceleração do bloco e v é a velocidade. Note que a aceleração pode ser escrita em função de v e x usando a regra da cadeia: a=\dfrac{dv}{dt} e \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}. Como \dfrac{dx}{dt}=v, obtemos a identidade útil
a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Essa identidade é muito prática quando queremos relacionar velocidade e posição.

Passo 3

Substituindo a=v\,dv/dx e a força dada na equação de Newton, fica
m\;v\frac{dv}{dx}=-c\,v^{3/2}.

Passo 4

Assumimos v>0 enquanto o bloco estiver em movimento (temos v(0)=v_{0}>0 e até parar a velocidade permanece não-negativa). Podemos dividir ambos os lados por v (válido para v>0) para simplificar:
m\frac{dv}{dx}=-c\,v^{1/2}.

Passo 5

Agora separamos as variáveis para integrar em v e x. Escrevemos
\frac{dv}{v^{1/2}}=-\frac{c}{m}\,dx.
Escolhemos os limites de integração: quando x=0 temos v=v_{0}; quando o bloco parar a velocidade será v=0 e a posição será x=X_{\max} (a distância máxima que queremos achar). Integramos ambos os lados com esses limites:
\int_{v_{0}}^{0}\frac{dv}{v^{1/2}}=-\frac{c}{m}\int_{0}^{X_{\max}}dx.

Passo 6

Calculemos as integrais. A primitiva de v^{-1/2} é 2v^{1/2}, portanto o lado esquerdo vale
\left[2v^{1/2}\right]_{v_{0}}^{0}=2\cdot 0^{1/2}-2v_{0}^{1/2}=-2v_{0}^{1/2}.
O lado direito é simples:
-\frac{c}{m}\int_{0}^{X_{\max}}dx=-\frac{c}{m}X_{\max}.
Igualando as duas expressões obtemos
-2v_{0}^{1/2}=-\frac{c}{m}X_{\max}.

Passo 7

Cancelando os sinais negativos e isolando X_{\max} achamos
X_{\max}=\frac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}.
Portanto a distância máxima que o bloco pode percorrer antes de parar é exatamente \dfrac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}. Como isso é um valor finito, concluímos que o bloco não pode viajar mais do que esse comprimento.

Resposta

\dfrac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}

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