Questão 2. Um refrigerador reversível funciona entre um reservatório a baixa temperatura TF e um reservatório a alta temperatura TQ. O seu coeficiente de desempenho é dado por:
a.
(TQ-TF)/TF
b.
TQ/(TQ-TF)
c.
TQ(TQ+TF)
d.
(TQ-TF)/TQ
e.
TF/(TQ-TF)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado diz que há um refrigerador reversível (ou ideal) que opera entre duas temperaturas: a baixa temperatura T_F (reservatório frio) e a alta temperatura T_Q (reservatório quente).
  • Pergunta: qual das expressões dadas corresponde ao coeficiente de desempenho do refrigerador reversível?
Informações relevantes:
  • É um ciclo reversível (carnotiano/ideal).
  • As temperaturas são T_F (fria) e T_Q (quente).
  • As opções fornecidas são as alternativas (a) a (e).

Passo 2

Definir rigorosamente o que é o coeficiente de desempenho de um refrigerador e as quantidades envolvidas.
  • O refrigerador recebe da fonte fria uma quantidade de calor que chamamos de Q_C (calor extraído do ambiente frio).
  • O refrigerador rejeita para a fonte quente uma quantidade de calor Q_H.
  • O trabalho fornecido ao refrigerador é W.
  • A conservação de energia (primeira lei) para o ciclo diz:
W = Q_H - Q_C.
  • O coeficiente de desempenho do refrigerador, que vou escrever como \text{COP}, é definido como a razão entre o calor removido da zona fria e o trabalho gasto:
\text{COP} \equiv \frac{Q_C}{W}.
Aqui Q_C e W são as magnitudes (valores positivos) dos respectivos termos.

Passo 3

Usar a condição de reversibilidade (equilíbrio de entropia) para relacionar Q_H e Q_C.
  • Para um ciclo reversível, a variação total de entropia do sistema mais reservatórios é zero. Considerando apenas as trocas de calor com os reservatórios, isso implica (usando as magnitudes dos calores trocados):
\frac{Q_H}{T_Q} = \frac{Q_C}{T_F}.
  • Desta igualdade segue a relação entre Q_H e Q_C:
Q_H = Q_C\cdot\frac{T_Q}{T_F}.

Passo 4

Substituir Q_H na relação do trabalho e obter a expressão do \text{COP}.
  • Da equação do trabalho:
W = Q_H - Q_C.
  • Substituindo Q_H = Q_C\cdot\dfrac{T_Q}{T_F}:
W = Q_C\left(\frac{T_Q}{T_F} - 1\right) = Q_C\left(\frac{T_Q - T_F}{T_F}\right).
  • Agora a definição de \text{COP}:
\text{COP} = \frac{Q_C}{W} = \frac{Q_C}{Q_C\left(\dfrac{T_Q - T_F}{T_F}\right)}.
  • Cancelando Q_C obtemos:
\text{COP} = \frac{T_F}{T_Q - T_F}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida com um exemplo numérico (para fixar a ideia).
  • A fórmula final é
\text{COP}=\frac{T_F}{T_Q - T_F},
onde as temperaturas devem estar em uma escala absoluta (por exemplo, kelvin).
  • Exemplo: se T_F=273\\ \text{K} e T_Q=303\\ \text{K}, então
\text{COP}=\frac{273}{303-273}=\frac{273}{30}\approx 9{,}1.
Isto significa que, idealmente, para cada unidade de trabalho fornecida o refrigerador retira cerca de 9{,}1 unidades de calor do ambiente frio.

Resposta

e. \dfrac{T_F}{T_Q - T_F}

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