2.12 A gun is fired straight up. Assuming that the air drag on the bullet varies quadratically with speed, show that the speed varies with height according to the equations
\begin{aligned} & v^{2}=A e^{-2 k x}-\frac{g}{k} \quad \text { (upward motion) } \\\ & v^{2}=\frac{g}{k}-B e^{2 k x} \quad \text { (downward motion) } \end{aligned}
in which A and B are constants of integration, g is the acceleration of gravity, and k=c_{2} / m where c_{2} is the drag constant and m is the mass of the bullet. (Note: x is measured positive upward, and the gravitational force is assumed to be constant.)

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi fornecido e do que se quer mostrar):
  • A bala é disparada verticalmente para cima; a coordenada vertical x é medida positiva no sentido para cima.
  • A força da gravidade é constante e vale -mg (apontando para baixo).
  • A resistência do ar (arrasto) tem intensidade proporcional ao quadrado da velocidade: magnitude c_{2} v^{2}. A direção do arrasto é sempre oposta ao sentido do movimento.
  • Define-se k=\dfrac{c_{2}}{m}.
  • O objetivo é mostrar que a variação da velocidade com a altura satisfaz as fórmulas v^{2}=A e^{-2 k x}-\frac{g}{k}\quad\text{(movimento para cima)}
v^{2}=\frac{g}{k}-B e^{2 k x}\quad\text{(movimento para baixo)}
em que A e B são constantes de integração.

Passo 2

Escrever a segunda lei de Newton e justificar os sinais das forças para o movimento para cima.
  • Para movimento para cima, a velocidade \,v=\dfrac{dx}{dt}\, é positiva. O arrasto atua para baixo, com força -c_{2}v^{2}. A gravidade também atua para baixo com força -mg.
  • Aplicando m\,\dfrac{dv}{dt}= soma das forças, obtemos m\frac{dv}{dt} = -mg - c_{2} v^{2}.
  • Dividindo por m e usando k=\dfrac{c_{2}}{m}, isto vira \frac{dv}{dt} = -g - k v^{2}.
Aqui é importante entender a regra da cadeia que vamos usar a seguir: \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=v\,\dfrac{dv}{dx}. Isso permite trocar a derivada temporal por derivada em relação à posição x, que é o que o enunciado pede (velocidade em função de x).

Passo 3

Transformar a equação em uma equação para v em função de x e simplificar usando a substituição y=v^{2}.
  • Usando a regra da cadeia, \dfrac{dv}{dt}=v\,\dfrac{dv}{dx}. Substituindo em \dfrac{dv}{dt}=-g-k v^{2} resulta v\frac{dv}{dx} = -g - k v^{2}.
  • Agora defina y=v^{2}. Note que \dfrac{dy}{dx}=2v\dfrac{dv}{dx}, logo v\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dy}{dx}.
  • Substituindo isso na equação anterior: \frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = -g - k y.
  • Multiplicando por 2 obtemos a equação linear em y: \frac{dy}{dx} + 2k y = -2g.

Passo 4

Resolver a equação linear \dfrac{dy}{dx}+2k y=-2g por fator integrante e voltar para v^{2} (movimento para cima).
  • O fator integrante é \displaystyle e^{\int 2k\,dx}=e^{2k x}.
  • Multiplicando a equação por esse fator integrante: e^{2k x}\frac{dy}{dx} + 2k e^{2k x} y = -2g e^{2k x}.
  • O lado esquerdo é a derivada de y e^{2k x}, ou seja \frac{d}{dx}\bigl(y e^{2k x}\bigr) = -2g e^{2k x}.
  • Integrando ambos os lados em relação a x: y e^{2k x} = \int -2g e^{2k x}\,dx = -2g\cdot\frac{e^{2k x}}{2k} + C = -\frac{g}{k} e^{2k x} + C,em que C é constante de integração.
  • Agora isole y: y = -\frac{g}{k} + C e^{-2k x}.
  • Voltando à variável original y=v^{2} e renomeando a constante C por A, obtemos v^{2} = A e^{-2k x} - \frac{g}{k},que é exatamente a expressão pedida para o movimento para cima.

Passo 5

Montar a equação de movimento para o deslocamento para baixo, cuidando novamente dos sinais do arrasto.
  • Para movimento para baixo, a velocidade \,v=\dfrac{dx}{dt}\, é negativa. O arrasto atua para cima, isto é, na direção oposta ao movimento. Como a coordenada x é positiva para cima, a gravidade continua sendo -mg (para baixo), e o arrasto agora contribui com +c_{2} v^{2} (direção para cima).
  • Assim, pela segunda lei de Newton: m\frac{dv}{dt} = -mg + c_{2} v^{2}.
  • Dividindo por m e usando k=\dfrac{c_{2}}{m}: \frac{dv}{dt} = -g + k v^{2}.

Passo 6

Converter a equação temporal em equação em x, usar y=v^{2} e resolver (movimento para baixo).
  • Usando \dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dx} obtemos v\frac{dv}{dx} = -g + k v^{2}.
  • Com y=v^{2} e \dfrac{dy}{dx}=2v\dfrac{dv}{dx}, temos v\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dy}{dx}. Substituindo: \frac{1}{2}\frac{dy}{dx} = -g + k y.
  • Multiplicando por 2: \frac{dy}{dx} - 2k y = -2g.
  • Esta é outra equação linear. O fator integrante agora é \displaystyle e^{\int (-2k)\,dx}=e^{-2k x}.
  • Multiplicando pela fator integrante: e^{-2k x}\frac{dy}{dx} - 2k e^{-2k x} y = -2g e^{-2k x}.
  • O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\bigl(y e^{-2k x}\bigr). Integrando: \frac{d}{dx}\bigl(y e^{-2k x}\bigr) = -2g e^{-2k x} \quad\Longrightarrow\quad y e^{-2k x} = \int -2g e^{-2k x}\,dx = \frac{g}{k} e^{-2k x} + C,onde C é constante de integração.
  • Isolando y: y = \frac{g}{k} + C e^{2k x}.
  • Voltando para v^{2} e renomeando a constante C convenientemente, escrevemos C=-B (isso apenas define B para deixar a expressão na forma pedida). Assim: v^{2} = \frac{g}{k} - B e^{2k x},que é a forma pedida para o movimento para baixo.

Passo 7

Comentário sobre as constantes de integração e interpretação física (breve e motivador).
  • As constantes A e B são determinadas pelas condições iniciais (por exemplo, valor de v em uma altura conhecida).
  • A presença dos termos exponenciais com sinais opostos reflete que, durante a subida a velocidade diminui exponencialmente com x (além do efeito da gravidade), enquanto na descida a variação tem a forma mostrada; escolher o sinal/valor correto de A e B garante que v^{2} permaneça não-negativo nas alturas consideradas.

Resposta

v^{2}=A e^{-2 k x}-\dfrac{g}{k} (upward motion)
v^{2}=\dfrac{g}{k}-B e^{2 k x} (downward motion)

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