2.12 A gun is fired straight up. Assuming that the air drag on the bullet varies quadratically with speed, show that the speed varies with height according to the equations
in which
and
are constants of integration,
is the acceleration of gravity, and
where
is the drag constant and
is the mass of the bullet. (Note:
is measured positive upward, and the gravitational force is assumed to be constant.)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (lista clara do que foi fornecido e do que se quer mostrar):
- A bala é disparada verticalmente para cima; a coordenada vertical
é medida positiva no sentido para cima. - A força da gravidade é constante e vale
(apontando para baixo). - A resistência do ar (arrasto) tem intensidade proporcional ao quadrado da velocidade: magnitude
. A direção do arrasto é sempre oposta ao sentido do movimento. - Define-se
. - O objetivo é mostrar que a variação da velocidade com a altura satisfaz as fórmulas
em que
e
são constantes de integração.
Passo 2
Escrever a segunda lei de Newton e justificar os sinais das forças para o movimento para cima.
- Para movimento para cima, a velocidade
é positiva. O arrasto atua para baixo, com força . A gravidade também atua para baixo com força . - Aplicando
soma das forças, obtemos - Dividindo por
e usando , isto vira
Aqui é importante entender a regra da cadeia que vamos usar a seguir:
. Isso permite trocar a derivada temporal por derivada em relação à posição
, que é o que o enunciado pede (velocidade em função de
).
Passo 3
Transformar a equação em uma equação para
em função de
e simplificar usando a substituição
.
- Usando a regra da cadeia,
. Substituindo em resulta - Agora defina
. Note que , logo . - Substituindo isso na equação anterior:
- Multiplicando por
obtemos a equação linear em :
Passo 4
Resolver a equação linear
por fator integrante e voltar para
(movimento para cima).
- O fator integrante é
. - Multiplicando a equação por esse fator integrante:
- O lado esquerdo é a derivada de
, ou seja - Integrando ambos os lados em relação a
: em que é constante de integração. - Agora isole
: - Voltando à variável original
e renomeando a constante por , obtemos que é exatamente a expressão pedida para o movimento para cima.
Passo 5
Montar a equação de movimento para o deslocamento para baixo, cuidando novamente dos sinais do arrasto.
- Para movimento para baixo, a velocidade
é negativa. O arrasto atua para cima, isto é, na direção oposta ao movimento. Como a coordenada é positiva para cima, a gravidade continua sendo (para baixo), e o arrasto agora contribui com (direção para cima). - Assim, pela segunda lei de Newton:
- Dividindo por
e usando :
Passo 6
Converter a equação temporal em equação em
, usar
e resolver (movimento para baixo).
- Usando
obtemos - Com
e , temos . Substituindo: - Multiplicando por
: - Esta é outra equação linear. O fator integrante agora é
. - Multiplicando pela fator integrante:
- O lado esquerdo é
. Integrando: onde é constante de integração. - Isolando
: - Voltando para
e renomeando a constante convenientemente, escrevemos (isso apenas define para deixar a expressão na forma pedida). Assim: que é a forma pedida para o movimento para baixo.
Passo 7
Comentário sobre as constantes de integração e interpretação física (breve e motivador).
- As constantes
e são determinadas pelas condições iniciais (por exemplo, valor de em uma altura conhecida). - A presença dos termos exponenciais com sinais opostos reflete que, durante a subida a velocidade diminui exponencialmente com
(além do efeito da gravidade), enquanto na descida a variação tem a forma mostrada; escolher o sinal/valor correto de e garante que permaneça não-negativo nas alturas consideradas.