[11] Mostre que:
se e somente se
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para
, o intervalo aberto
coincide com o intervalo fechado
se e somente se os extremos são iguais, isto é,
.
Conteúdo: definição de intervalo aberto e fechado e uso de pertinência de elementos a esses conjuntos.
Conteúdo: definição de intervalo aberto e fechado e uso de pertinência de elementos a esses conjuntos.
Passo 2
Prova da implicação “se
, então
”:
Suponha, por absurdo, que e que
.
Então, pela definição,
Suponha, por absurdo, que
Então, pela definição,
pois
,
porém
porém
já que em
só entram pontos
tais que
.
Isso contradiz .
Logo não pode ser .
Se , ambos os conjuntos
Isso contradiz
Logo não pode ser
Se
são vazios, mas por definição de “intervalo” em muitos textos só consideramos casos com
.
Portanto, dentro da definição usual de intervalos, a única forma de e
serem iguais é ter
.
Portanto, dentro da definição usual de intervalos, a única forma de
Passo 3
Prova da implicação “se
, então
”:
Quando , o “intervalo” entre
e
não deixa margem para outros pontos. Intuitivamente, ambos degeneram no mesmo conjunto–ponto. Mais formalmente:
– Em todo
satisfaz
, logo
e
.
– Em não há
tal que
, mas adotamos a convenção de que o intervalo degenerado também reduz-se ao ponto
.
Assim
Quando
– Em
– Em
Assim
e portanto
quando
.