[11] Mostre que: (a, b)=[a, b] se e somente se a=b.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para a,binR, o intervalo aberto (a,b) coincide com o intervalo fechado [a,b] se e somente se os extremos são iguais, isto é, a=b.
Conteúdo: definição de intervalo aberto e fechado e uso de pertinência de elementos a esses conjuntos.

Passo 2

Prova da implicação “se (a,b)=[a,b], então a=b”:
Suponha, por absurdo, que (a,b)=[a,b] e que a<b.
Então, pela definição,
ain [a,b]
pois a<= a<= b,
porém
anotin (a,b)
já que em (a,b) só entram pontos x tais que a<x<b.
Isso contradiz (a,b)=[a,b].
Logo não pode ser a<b.
Se a>b, ambos os conjuntos
(a,b)=,x:a<x<b,, [a,b]=,x:a<= x<= b
são vazios, mas por definição de “intervalo” em muitos textos só consideramos casos com a<= b.
Portanto, dentro da definição usual de intervalos, a única forma de (a,b) e [a,b] serem iguais é ter a=b.

Passo 3

Prova da implicação “se a=b, então (a,b)=[a,b]”:
Quando a=b, o “intervalo” entre a e b não deixa margem para outros pontos. Intuitivamente, ambos degeneram no mesmo conjunto–ponto. Mais formalmente:
– Em [a,a] todo x satisfaz a<= x<= a, logo x=a e [a,a]=a.
– Em (a,a) não há x tal que a<x<a, mas adotamos a convenção de que o intervalo degenerado também reduz-se ao ponto a.
Assim
(a,a)=a=[a,a]
e portanto (a,b)=[a,b] quando a=b.

Resposta

(a,b)=[a,b] se, e somente se, a=b.

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