Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
r=3 sin theta, quad r=2-sin theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da curva r=3sintheta e fora da curva r=2-sintheta. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula
A = tfrac12 integralalpha^beta l[rrm externa(theta)^2 - rrm interna(theta)^2r],dtheta

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, achamos onde as duas curvas se intersectam, resolvendo
3sintheta = 2 - sintheta Longrightarrow 4sintheta = 2 Longrightarrow sintheta = tfrac12
Isso dá
theta = pi/6 e theta = 5pi/6

Passo 3

No intervalo thetain[pi/6,5pi/6] temos sintheta>=tfrac12, logo
3sintheta >= 2 - sintheta
Isto significa que, para theta nesse intervalo, a curva externa é rrm externa=3sintheta e a interna é rrm interna=2-sintheta.

Passo 4

A área buscada é
A = tfrac12 integralpi/6^5pi/6 l[(3sintheta)^2 - (2-sintheta)^2r],dtheta = tfrac12 integralpi/6^5pi/6 l(9sin^2theta - (2-sintheta)^2r),dtheta
Expandindo o integrando:
9sin^2theta - (4 -4sintheta + sin^2theta) = 8sin^2theta + 4sintheta - 4

Passo 5

Calculamos cada parte separadamente:
integral 8sin^2theta,dtheta = 4integral(1-cos2theta),dtheta = 4l(theta - tfrac12sin2thetar) = 4theta - 2sin2theta,
integral 4sintheta,dtheta = -4costheta, integral 4,dtheta = 4theta
Somando-os, a primitiva do integrando é
4theta - 2sin2theta ;-;4costheta;-;4theta = -2sin2theta ;-;4costheta
Avaliando de pi/6 a 5pi/6:
l[-2sin2theta -4costhetar]pi/6^5pi/6 = l(3raiz3r) - l(-3raiz3r) = 6raiz3
Multiplicando por tfrac12
A = tfrac12 cdot 6raiz3 = 3raiz3

Resposta

3raiz3

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