(11) Mostre que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6} x^{n}=\frac{1}{(1-x)^{4}}. (12) Use a série de potências para \operatorname{arctg}(x) para demonstrar a seguinte expressão para \pi como soma de uma série infinita
\pi=2 \sqrt{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\,x^n=\frac{1}{(1-x)^4}.
  1. Usar a série de potências de \arctan(x) para obter
\pi=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)\,3^n}.
Vamos precisar de derivadas da série geométrica e da expansão de \arctan(x).

Passo 2

Começamos de
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.
Derivando em x obtemos
\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty n\,x^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)\,x^n.
Derivando de novo:
\frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)(n+2)\,x^n.
Mais uma derivada:
\frac{6}{(1-x)^4}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)(n+2)(n+3)\,x^n.
Dividindo ambos os lados por 6 chega-se exatamente a
\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\,x^n =\frac{1}{(1-x)^4}.

Passo 3

A série de potências de \arctan(x) é
\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\le1.
Sabemos que \arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6. Substituindo x=1/\sqrt{3} na série:
\frac{\pi}{6} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(1/\sqrt{3})^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{2n+1}\frac{1}{3^n\sqrt{3}}.
Multiplicando por 6:
\pi =6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n+1)\,3^n} =2\sqrt{3}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\,3^n}.

Resposta

(11) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\,x^n=\frac{1}{(1-x)^4}.
(12) \displaystyle \pi=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)\,3^n}.

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