Mostre que J_{0}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{2^{2 n}(n!)^{2}}, \forall x (a função de Bessel de ordem 0) satisfaz a equação diferencial
x^{2} J_{0}^{\prime \prime}(x)+x J_{0}^{\prime}(x)+x^{2} J_{0}(x)=0

Passo 1

O enunciado define a função de Bessel de ordem zero como
J_{0}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{2n},\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}}
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
x^{2}J_{0}''(x)+xJ_{0}'(x)+x^{2}J_{0}(x)=0.
O que vamos usar é a diferenciação termo a termo de séries de potências e manipular índices para verificar que todos os coeficientes se anulam.

Passo 2

Diferenciando termo a termo obtemos
J_{0}'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,(2n)\,x^{2n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}2n\,a_{n}\,x^{2n-1}
e
J_{0}''(x) =\sum_{n=1}^{\infty}2n\,a_{n}\,(2n-1)\,x^{2n-2}.

Passo 3

Agora formamos a combinação da equação diferencial:
x^{2}J_{0}''(x)+xJ_{0}'(x)+x^{2}J_{0}(x).
Substituindo as séries temos
x^{2}J_{0}''=\sum_{n=1}^{\infty}2n(2n-1)a_{n}\,x^{2n}, \quad xJ_{0}'=\sum_{n=1}^{\infty}2n\,a_{n}\,x^{2n},
x^{2}J_{0}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{2n+2} =\sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}\,x^{2m}.
Renomeando m\to n na última soma, todas passam a ter x^{2n} com n\ge1.

Passo 4

Somando termo a termo para cada potência x^{2n} ( n\ge1) o coeficiente é
2n(2n-1)a_{n}+2n\,a_{n}+a_{n-1} =4n^{2}a_{n}+a_{n-1}.
Para concluir que isso vale zero, precisamos ver que existe uma relação de recorrência entre a_{n-1} e a_{n}.

Passo 5

Calculando a razão
\frac{a_{n-1}}{a_{n}} =\frac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-2}((n-1)!)^{2}} \bigg/\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}(n!)^{2}} =-4\,n^{2},
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a_{n-1}=-4n^{2}a_{n}.
Substituindo em 4n^{2}a_{n}+a_{n-1}
4n^{2}a_{n}-4n^{2}a_{n}=0.
Assim, cada coeficiente de x^{2n} na soma é zero, e não há termo isolado em x^{0}. Portanto a série verifica
x^{2}J_{0}''(x)+xJ_{0}'(x)+x^{2}J_{0}(x)=0
para todo x.

Resposta

Mostramos que a combinação \,x^{2}J_{0}''(x)+xJ_{0}'(x)+x^{2}J_{0}(x) fica identicamente zero, logo J_{0}(x) satisfaz a equação diferencial dada.

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