Mostre que
(a função de Bessel de ordem 0) satisfaz a equação diferencial
Passo 1
O enunciado define a função de Bessel de ordem zero como
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
O que vamos usar é a diferenciação termo a termo de séries de potências e manipular índices para verificar que todos os coeficientes se anulam.
Passo 2
Diferenciando termo a termo obtemos
e
Passo 3
Agora formamos a combinação da equação diferencial:
Substituindo as séries temos
Renomeando
na última soma, todas passam a ter
com
.
Passo 4
Somando termo a termo para cada potência
(
) o coeficiente é
Para concluir que isso vale zero, precisamos ver que existe uma relação de recorrência entre
e
.
Passo 5
Calculando a razão
logo
Substituindo em
dá
Assim, cada coeficiente de
na soma é zero, e não há termo isolado em
. Portanto a série verifica
para todo
.
Resposta
Mostramos que a combinação
fica identicamente zero, logo
satisfaz a equação diferencial dada.