[1][1.5 ponto] Suponha que o evento F de que um específico sistema falhe ocorre se os eventos E1 ou E2 ocorrerem, mas o evento E3 não ocorrer. Considere que E1, E2 e E3 são mutuamente independentes e ainda que as probabilidades dos eventos E1, E2 e E3 são dadas, respectivamente, por 0.4,0.3 e 0.1 . Calcule a probabilidade do sistema específico falhar.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o sistema falha se E₁ ou E₂ ocorrer, mas E₃ não ocorrer. Temos que calcular
P(F) onde F = (E1 cup E2)cap E3^c
O conteúdo é probabilidade de eventos independentes, envolvendo união, interseção e complemento. Vamos precisar das fórmulas:
  • Para união: P(E1cup E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1cap E2)
  • Para complemento: P(E3^c)=1-P(E3)
  • E usar que E1,E2,E3 são independentes, então P(Eicap Ej)=P(Ei)P(Ej) e até em tríplice.

Passo 2

Primeiro, a gente acha P(E1cup E2):
P(E1cup E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1cap E2)
Como são independentes, P(E1cap E2)=P(E1)P(E2). Logo
P(E1cup E2) = 0.4 + 0.3 - (0.4cdot0.3) = 0.7 - 0.12 = 0.58

Passo 3

Agora precisamos de Pl((E1cup E2)cap E3^cr). Usamos que, por independência estendida,
Pl((E1cup E2)cap E3^cr) = P(E1cup E2);times;P(E3^c)
E P(E3^c)=1-P(E3)=1-0.1=0.9. Então
P(F) = 0.58 times 0.9 = 0.522

Resposta

A probabilidade do sistema falhar é 0.522.

Exercícios relacionados