[3] [1.5 pontos] Em um canal de transmissão com ruído, são transmitidas independentemente 5 cópias de um mesmo pacote. Seja 0.6 a probabilidade de transmissão bem sucedida de qualquer uma das cópias. Considere o número de cópias enviadas com sucesso como sendo a variável aleatória de interesse.
(a) Obtenha a função de probabilidade da variável de interesse. Qual o seu valor médio e a variância?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem 5 cópias de um pacote sendo enviadas de forma independente, cada uma com probabilidade de sucesso . A variável de interesse é “quantas cópias chegam certas”. O conteúdo é Distribuição Binomial, e a gente vai precisar de:
  • A fórmula da probabilidade binomial,
  • A definição de coeficiente binomial ,
  • As fórmulas de esperança e variância de uma binomial.

Passo 2

Para saber a probabilidade de exatamente P(X = k) = binom5k,p^k,(1-p)^5-k, sucessos em binom5k = 5!k!,(5-k)!, tentativas independentes com p de sucesso em cada, usamos a fórmula:
onde
e . Isso cobre .

Passo 3

Agora, para o valor médio (esperança) de E[X] = n,p = 5 times 0.6 = 3 , a propriedade da binomial diz que:
Isso faz sentido: em média, 3 cópias chegam direitinho.

Passo 4

Para a variância, tem outra fórmula padrão para binomial:
Var(X) = n,p,(1-p) = 5 times 0.6 times 0.4 = 1.2
Ou seja, a dispersão quadrática de é 1.2.

Resposta

Função de probabilidade:
P(X = k) = binom5k,(0.6)^k,(0.4)^5-k, k=0,1,2,3,4,5
Valor médio: .
Variância: .

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