[3] [1.5 pontos] Em um canal de transmissão com ruído, são transmitidas independentemente 5 cópias de um mesmo pacote. Seja 0.6 a probabilidade de transmissão bem sucedida de qualquer uma das cópias. Considere o número de cópias enviadas com sucesso como sendo a variável aleatória de interesse.
(a) Obtenha a função de probabilidade da variável de interesse. Qual o seu valor médio e a variância?
(a) Obtenha a função de probabilidade da variável de interesse. Qual o seu valor médio e a variância?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem 5 cópias de um pacote sendo enviadas de forma independente, cada uma com probabilidade de sucesso
. A variável de interesse
é “quantas cópias chegam certas”. O conteúdo é Distribuição Binomial, e a gente vai precisar de:
- A fórmula da probabilidade binomial,
- A definição de coeficiente binomial
, - As fórmulas de esperança e variância de uma binomial.
Passo 2
Para saber a probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas independentes com p de sucesso em cada, usamos a fórmula:
onde
e
. Isso cobre
.
Passo 3
Agora, para o valor médio (esperança) de
, a propriedade da binomial diz que:
Isso faz sentido: em média, 3 cópias chegam direitinho.
Passo 4
Para a variância, tem outra fórmula padrão para binomial:
Ou seja, a dispersão quadrática de
é 1.2.
Resposta
Função de probabilidade:
Valor médio:
.
Variância: .
Variância: