( 11 pontos) Seja S a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 e z=4.
(a) Encontre uma parametrização para S.
(b) Calcule a área de S.

Passo 1

O enunciado dá a parte do paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}\; que fica entre os planos \;z=1\; e \;z=4\;, e pede duas coisas:
  1. Encontrar uma parametrização para a superfície S.
  2. Calcular a área de S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
S=\{(x,y,z)\mid z=x^{2}+y^{2},\;1\le z\le 4\}.
Da relação z=x^{2}+y^{2} e das restrições em z segue que os pontos projetados no plano xy satisfazem
1\le x^{2}+y^{2}\le 4,
ou seja, a projeção é um anel (anulus) com raio interno \;1\; e raio externo \;2\;.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escolhemos coordenadas polares para parametrizar a projeção circular (porque a projeção é um anel circular, e polares simplificam x^{2}+y^{2}). Em coordenadas polares usamos os parâmetros \;r\; (raio) e \;\theta\; (ângulo), com
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Como z=x^{2}+y^{2}=r^{2}, uma parametrização natural da superfície S é
\mathbf{r}(r,\theta)=\langle r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\rangle,
com domínio dos parâmetros dado por
1\le r\le 2,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Isto responde a (a): a parametrização acima descreve todos os pontos do paraboloide com z entre 1 e 4.

Passo 3

Agora vamos aprender como calcular a área de uma superfície dada por uma parametrização. Se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização suave, então a área da superfície sobre o domínio D no plano dos parâmetros é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\lVert \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\rVert \,du\,dv.Á
Explicando: \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação aos parâmetros; o produto vetorial \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} é um vetor cuja magnitude dá o fator de escala (área do paralelogramo) que transforma um pequeno retângulo du\times dv do domínio em uma pequena peça da superfície. Então integramos esse fator sobre todo o domínio dos parâmetros.
No nosso caso os parâmetros são r e \theta, então usaremos a fórmula com u=r e v=\theta.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de \mathbf{r}(r,\theta)=\langle r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\rangle.
Derivando em relação a r:
\mathbf{r}_{r}=\left\langle \cos\theta,\;\sin\theta,\;2r\right\rangle.
Derivando em relação a \theta:
\mathbf{r}_{\theta}=\left\langle -r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\right\rangle.

Passo 5

Calculemos o produto vetorial \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}. Usamos a regra do determinante:
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 2r \\\\ - r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante componente a componente obtemos
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta} =\bigl\langle -2r^{2}\cos\theta,\;-2r^{2}\sin\theta,\;r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\bigr\rangle.
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, isto simplifica para
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}=\langle -2r^{2}\cos\theta,\;-2r^{2}\sin\theta,\;r\rangle.
Agora a magnitude:
\bigl\lVert \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\rVert =\sqrt{(-2r^{2}\cos\theta)^{2}+(-2r^{2}\sin\theta)^{2}+r^{2}}.
Agrupando termos:
\bigl\lVert \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\rVert =\sqrt{4r^{4}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}} =\sqrt{4r^{4}+r^{2}}.
Colocando fator comum r^{2}:
\bigl\lVert \mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\bigr\rVert = r\sqrt{4r^{2}+1},
uma vez que r\ge 0 no domínio considerado.

Passo 6

Montamos a integral dupla para a área usando os limites de r e \theta:
\text{Área}(S)=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2} r\sqrt{4r^{2}+1}\;dr\;d\theta.Á
Explicação rápida: aqui du\,dv virou dr\,d\theta porque são os parâmetros, e o integrando é a magnitude do produto vetorial que achamos no passo anterior.

Passo 7

Calculamos a integral em r. Use substituição
u=4r^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{1}{8}\,du.
Quando r=1 temos u=4(1)^{2}+1=5. Quando r=2 temos u=4(2)^{2}+1=17.
A integral em r torna-se
\int_{r=1}^{2} r\sqrt{4r^{2}+1}\;dr = \int_{u=5}^{17} \frac{1}{8} u^{1/2}\;du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{5}^{17} = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
Agora integramos em \theta:
\text{Área}(S)=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr)\;d\theta = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr)\cdot 2\pi.Á
Simplificando:
\text{Área}(S)=\frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr).Á

Resposta

\mathbf{r}(r,\theta)=\langle r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\rangle,\quad 1\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi.
\displaystyle \text{Área}(S)=\frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr)Á

Exercícios relacionados