( 11 pontos) Seja S a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 e z=4.
(a) Encontre uma parametrização para S.
(b) Calcule a área de S.
Passo 1
O enunciado dá a parte do paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}\; que fica entre os planos \;z=1\; e \;z=4\;, e pede duas coisas:
Encontrar uma parametrização para a superfície S.
Calcular a área de S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
S=\{(x,y,z)\mid z=x^{2}+y^{2},\;1\le z\le 4\}.
Da relação z=x^{2}+y^{2} e das restrições em z segue que os pontos projetados no plano xy satisfazem
1\le x^{2}+y^{2}\le 4,
ou seja, a projeção é um anel (anulus) com raio interno \;1\; e raio externo \;2\;.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escolhemos coordenadas polares para parametrizar a projeção circular (porque a projeção é um anel circular, e polares simplificam x^{2}+y^{2}). Em coordenadas polares usamos os parâmetros \;r\; (raio) e \;\theta\; (ângulo), com
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Como z=x^{2}+y^{2}=r^{2}, uma parametrização natural da superfície S é
Isto responde a (a): a parametrização acima descreve todos os pontos do paraboloide com z entre 1 e 4.
Passo 3
Agora vamos aprender como calcular a área de uma superfície dada por uma parametrização. Se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização suave, então a área da superfície sobre o domínio D no plano dos parâmetros é
Explicando: \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação aos parâmetros; o produto vetorial \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v} é um vetor cuja magnitude dá o fator de escala (área do paralelogramo) que transforma um pequeno retângulo du\times dv do domínio em uma pequena peça da superfície. Então integramos esse fator sobre todo o domínio dos parâmetros.
No nosso caso os parâmetros são r e \theta, então usaremos a fórmula com u=r e v=\theta.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de \mathbf{r}(r,\theta)=\langle r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\rangle.
Explicação rápida: aqui du\,dv virou dr\,d\theta porque são os parâmetros, e o integrando é a magnitude do produto vetorial que achamos no passo anterior.