(11 pontos) Sejam
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}\right) z \vec{\imath}+2 x y z \vec{\jmath}+x y^{2} \vec{k}
e C a curva que é interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=1 e o plano z=2-y, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Usando o Teorema de Stokes, calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl((x^{2}+y^{2})z,\;2xyz,\;xy^{2}\bigr)
e a curva C é a interseção entre o cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e o plano \;z=2-y\;, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Pede-se calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Campo vetor: }\vec{F}(x,y,z)=\bigl((x^{2}+y^{2})z,\;2xyz,\;xy^{2}\bigr).\\\ &\text{Curva \(C\): }C=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=1,\; z=2-y\}.\\ &\text{Orientação de \(C\): anti-horário vista de cima (isto é, sentido positivo em \(xy\)-plano).}\\ &\text{Objetivo: } \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}. \end{aligned}çãáé

Passo 2

Escolhemos usar o Teorema de Stokes. Vou enunciar a versão que usaremos: seja S uma superfície orientada com contorno \partial S=C e orientação compatível com C. Então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotor (curl) de \vec{F} e \vec{n}\,dS é o vetor normal orientado vezes a área. Vou aplicar isto tomando S como a porção do plano \;z=2-y\; limitada pelo círculo \;x^{2}+y^{2}=1.
Breve explicação do que é \nabla\times\vec{F}: para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Isso mede a tendência de rotação local do campo.

Passo 3

Calculo do rotor \nabla\times\vec{F}. Usando \;F_{1}=(x^{2}+y^{2})z,\;F_{2}=2xyz,\;F_{3}=xy^{2}\;:
Primeiro componente:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} =\frac{\partial }{\partial y}(xy^{2})-\frac{\partial }{\partial z}(2xyz) =2xy-2xy=0.
Segunda componente:
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =\frac{\partial }{\partial z}\bigl((x^{2}+y^{2})z\bigr)-\frac{\partial }{\partial x}(xy^{2}) =(x^{2}+y^{2})-y^{2}=x^{2}.
Terceira componente:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial x}(2xyz)-\frac{\partial }{\partial y}\bigl((x^{2}+y^{2})z\bigr) =2yz-2yz=0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(0,\;x^{2},\;0).

Passo 4

Parametrização da superfície S. Como S é porção do plano \;z=2-y\; sobre o disco \;D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}, uso a parametrização natural por (x,y):
\vec{r}(x,y)=(x,\;y,\;2-y),\qquad (x,y)\in D.
Derivo em relação a x e y:
\vec{r}_{x}=(1,0,0),\qquad \vec{r}_{y}=(0,1,-1).
O vetor normal orientado (não unitário) é
\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}=(1,0,0)\times(0,1,-1)=(0,1,1).
Comentário sobre orientação: a condição “anti-horário vista de cima” corresponde à escolher a normal com componente z positiva (apontando para cima) segundo a regra da mão direita. O vetor (0,1,1) tem componente z positiva, logo sua orientação é compatível com a orientação dada de C. Portanto podemos usar \vec{n}\,dS=\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}\,dA=(0,1,1)\,dA, onde dA é a área no plano xy.

Passo 5

Calculamos o integrando do lado direito de Stokes:
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}) =(0,\;x^{2},\;0)\cdot(0,1,1)=x^{2}.
Logo a integral de linha transforma-se na integral dupla sobre o disco D:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D} x^{2}\,dA.
Aqui agora explico como calcular \iint_{D} x^{2}\,dA: por simetria é conveniente usar coordenadas polares. Em polares, \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta\; e o disco D é \;0\le r\le 1,\; 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 6

Passo para coordenadas polares e cálculo explícito:
\iint_{D} x^{2}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Integro em r primeiro:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Uso a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta). Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos 2\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\bigl[ \theta + \tfrac{1}{2}\sin 2\theta \bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2}(2\pi-0)=\pi.
Multiplicando os resultados:
\iint_{D} x^{2}\,dA=\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\pi=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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