(11 pontos) Sejam
e
a curva que é interseção entre o cilindro
e o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Usando o Teorema de Stokes, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá:
e a curva
é a interseção entre o cilindro
e o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Pede-se calcular .
Pede-se calcular
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Escolhemos usar o Teorema de Stokes. Vou enunciar a versão que usaremos: seja
uma superfície orientada com contorno
e orientação compatível com
. Então
onde
é o rotor (curl) de
e
é o vetor normal orientado vezes a área. Vou aplicar isto tomando
como a porção do plano
limitada pelo círculo
.
Breve explicação do que é
: para
,
Isso mede a tendência de rotação local do campo.
Passo 3
Calculo do rotor
. Usando
:
Primeiro componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 4
Parametrização da superfície
. Como
é porção do plano
sobre o disco
, uso a parametrização natural por
:
Derivo em relação a
e
:
O vetor normal orientado (não unitário) é
Comentário sobre orientação: a condição “anti-horário vista de cima” corresponde à escolher a normal com componente
positiva (apontando para cima) segundo a regra da mão direita. O vetor
tem componente
positiva, logo sua orientação é compatível com a orientação dada de
. Portanto podemos usar
, onde
é a área no plano
.
Passo 5
Calculamos o integrando do lado direito de Stokes:
Logo a integral de linha transforma-se na integral dupla sobre o disco
:
Aqui agora explico como calcular
: por simetria é conveniente usar coordenadas polares. Em polares,
e o disco
é
.
Passo 6
Passo para coordenadas polares e cálculo explícito:
Integro em
primeiro:
Agora a integral em
:
Uso a identidade
. Assim
Multiplicando os resultados: