Encontre a derivada da função a seguir e simplifique se possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações importantes fornecidas: a função é uma composição de duas funções hiperbólicas — a função externa é
e a função interna é
. O objetivo é calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são
e
e suas derivadas básicas. As definições em termos de exponenciais são
Derivando em relação a
:
Ou seja: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Cada variável
acima pode ser qualquer expressão, desde que a diferenciação seja feita em relação a essa variável.
Passo 3
Agora, a ferramenta que vamos usar é a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma composição
e
, então
isto é, derivamos a função externa
avaliando-a em
e multiplicamos pela derivada da função interna
. Em palavras: deriva a parte de fora (sem mexer na parte de dentro), e multiplica pela derivada da parte de dentro.
Passo 4
Aplique a regra da cadeia ao nosso problema. Definimos a função interna
e a função externa
Pela regra da cadeia,
Pelo Passo 2 sabemos que
. Também sabemos que
. Substituindo,
Voltando
, obtemos
Podemos escrever de forma equivalente como
Não há simplificação algébrica padrão que torne essa expressão mais “simples” — já está numa forma natural e enxuta.
Passo 5
Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos parecidos:
(pela regra da cadeia, deriva o externo
para
e multiplica por
), e
(derivada de
é
, vezes derivada de
, que é
). Esses exemplos são análogos ao que fizemos acima.