Encontre a derivada da função a seguir e simplifique se possível.
y=\operatorname{sinh} (\operatorname{cosh} x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y=\operatorname{sinh}(\operatorname{cosh} x).
Informações importantes fornecidas: a função é uma composição de duas funções hiperbólicas — a função externa é \operatorname{sinh}(\cdot) e a função interna é \operatorname{cosh} x. O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} e suas derivadas básicas. As definições em termos de exponenciais são
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}, \qquad \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Derivando em relação a t:
\frac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\right) =\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\operatorname{cosh} t,
\frac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\frac{d}{dt}\left(\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\right) =\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}=\operatorname{sinh} t.
Ou seja: a derivada de \operatorname{sinh} é \operatorname{cosh} e a derivada de \operatorname{cosh} é \operatorname{sinh}. Cada variável t acima pode ser qualquer expressão, desde que a diferenciação seja feita em relação a essa variável.

Passo 3

Agora, a ferramenta que vamos usar é a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma composição
y=f(g(x)),
e u=g(x), então
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot\frac{du}{dx},
isto é, derivamos a função externa f avaliando-a em u=g(x) e multiplicamos pela derivada da função interna g(x). Em palavras: deriva a parte de fora (sem mexer na parte de dentro), e multiplica pela derivada da parte de dentro.

Passo 4

Aplique a regra da cadeia ao nosso problema. Definimos a função interna
u=\operatorname{cosh} x,
e a função externa
y=\operatorname{sinh} u.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}\operatorname{sinh} u\cdot\frac{du}{dx}.
Pelo Passo 2 sabemos que \dfrac{d}{du}\operatorname{sinh} u=\operatorname{cosh} u. Também sabemos que \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x. Substituindo,
\frac{dy}{dx}=\operatorname{cosh} u\cdot\operatorname{sinh} x.
Voltando u=\operatorname{cosh} x, obtemos
\frac{dy}{dx}=\operatorname{cosh}(\operatorname{cosh} x)\cdot\operatorname{sinh} x.
Podemos escrever de forma equivalente como
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh}(\operatorname{cosh} x).
Não há simplificação algébrica padrão que torne essa expressão mais “simples” — já está numa forma natural e enxuta.

Passo 5

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos parecidos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(2x)=2\operatorname{cosh}(2x)
(pela regra da cadeia, deriva o externo \operatorname{sinh} para \operatorname{cosh} e multiplica por 2), e
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(\operatorname{sinh} x)=\operatorname{sinh}(\operatorname{sinh} x)\operatorname{cosh} x
(derivada de \operatorname{cosh} é \operatorname{sinh}, vezes derivada de \operatorname{sinh} x, que é \operatorname{cosh} x). Esses exemplos são análogos ao que fizemos acima.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh}(\operatorname{cosh} x)

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