(b) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\\\ 2, & \text { para } \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0, & \text { para } t \geq 2 \pi\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+2y=f(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
onde f(t)\) é a função em pedaços
\[f(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 2, & \pi\le t<2\pi,\\[4pt] 0, & t\ge2\pi. \end{cases}
Lista das informações relevantes que temos:
y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
f(t)=2\big(u(t-\pi)-u(t-2\pi)\big),
onde u(t-a)\] é a função degrau unitário deslocada. A tarefa é encontrar \(y(t) para todo t\ge0.]
Passo 2
Estratégia escolhida: usar transformada de Laplace. Vou relembrar as fórmulas básicas que vou usar:
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
Para derivadas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Estas fórmulas vêm da definição integral da transformada e integração por partes; aqui eu as uso diretamente porque são padrão e muito úteis para transformar EDOs em equações algébricas em s.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace na equação diferencial. Primeiro escrevo a transformada de cada termo, usando y(0)=0 e y'(0)=1:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-1,
\mathcal{L}\{2y'\}=2(sY(s)-0)=2sY(s),
\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s).
Somando e igualando à transformada de f(t), denotada por F(s), obtenho
s^{2}Y(s)-1+2sY(s)+2Y(s)=F(s).
Agrupando Y(s):
Y(s)\big(s^{2}+2s+2\big)-1=F(s).
Logo
Y(s)=\frac{1+F(s)}{s^{2}+2s+2}.
Passo 4
Agora preciso de F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Primeiro escrevi f(t) em termos do degrau unitário:
Vou inverter cada termo. Observação: o termo multiplicado por e^{-a s} gera, pela propriedade do deslocamento, uma contribuição do tipo h(t-a)u(t-a) onde h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Passo 6
Inverto o primeiro termo T_1(s). Faço o quadrado perfeito no denominador:
s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1.
A transformada inversa conhecida é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+1}\right\}=e^{-t}\sin t.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\{T_1(s)\}=e^{-t}\sin t.
Passo 7
Inverto H(s)=\dfrac{2}{s}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+2s+2}. Uso a propriedade que