Faça as somas em
para:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para “fazer as somas” na expressão
sob a hipótese
. As informações relevantes são:
- A expressão que somamos é a soma dupla
. - Temos a simetria dos coeficientes:
para todos . - Vou assumir que os índices
e percorrem (caso usual). A resolução a seguir usa essa convenção.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a soma dupla temos
Explanação: isso significa somar
para todas as combinações possíveis de
e
de
até
. Por exemplo, para
seriam 9 termos (
= (1,1),(1,2),\dots,(3,3)).
Passo 3
Separe a soma em duas partes: os termos com
(diagonais) e os termos com
(off-diagonais). Assim
Explicação passo a passo: a primeira soma pega todos os termos onde
, que são
. A segunda soma recolhe todos os pares com
.
Passo 4
Agora trate a soma dos termos com
. Podemos agrupar cada par
com o seu correspondente
. Para
temos o par de termos
Usando a simetria
e a comutatividade da multiplicação
, obtemos
Como cada par
e
aparece exatamente uma vez na soma completa, podemos reescrever a soma sobre
como o dobro da soma sobre os pares com
:
Passo 5
Substituindo o resultado do Passo 4 na separação do Passo 3, obtemos a expressão final simplificada:
Interpretação: a soma dupla se transforma em soma dos termos quadráticos (diagonais) mais duas vezes a soma dos termos mistos com
.
Passo 6
Uma forma compacta (mais teórica) de escrever isso é usar vetores e matrizes. Se
é o vetor com componentes
e
é a matriz com entradas
, então a soma dupla é o produto quadrático
e, quando
é simétrica, esse produto se expande exatamente na forma do Passo 5. Isso é útil na prova porque nos permite reconhecer polinômios quadráticos e formas bilineares.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (faça como checagem mental): para
e
temos
que segue da fórmula com
e
. Isso checa com a regra geral.