Faça as somas em D_{i j} x_{i} x_{j} para:
a) D_{i j}=D_{j i}

Passo 1

O enunciado pede para “fazer as somas” na expressão \displaystyle D_{ij}x_i x_j sob a hipótese \displaystyle D_{ij}=D_{ji}. As informações relevantes são:
  • A expressão que somamos é a soma dupla \displaystyle \sum_{i}\sum_{j} D_{ij}x_i x_j.
  • Temos a simetria dos coeficientes: \displaystyle D_{ij}=D_{ji} para todos i,j.
  • Vou assumir que os índices i e j percorrem 1,2,\dots,n (caso usual). A resolução a seguir usa essa convenção.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a soma dupla temos
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n D_{ij}x_i x_j.
Explanação: isso significa somar D_{ij}x_i x_j para todas as combinações possíveis de i e j de 1 até n. Por exemplo, para n=3 seriam 9 termos ( i,j = (1,1),(1,2),\dots,(3,3)).

Passo 3

Separe a soma em duas partes: os termos com i=j (diagonais) e os termos com i\neq j (off-diagonais). Assim
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n D_{ij}x_i x_j = \sum_{i=1}^n D_{ii}x_i^2 \;+\; \sum_{\substack{i=1\\\ j\neq i}}^n D_{ij}x_i x_j.
Explicação passo a passo: a primeira soma pega todos os termos onde i=j, que são D_{11}x_1^2, D_{22}x_2^2,\dots. A segunda soma recolhe todos os pares com i\neq j.

Passo 4

Agora trate a soma dos termos com i\neq j. Podemos agrupar cada par (i,j) com o seu correspondente (j,i). Para i\neq j temos o par de termos
D_{ij}x_i x_j + D_{ji}x_j x_i.
Usando a simetria \displaystyle D_{ji}=D_{ij} e a comutatividade da multiplicação x_j x_i = x_i x_j, obtemos
D_{ij}x_i x_j + D_{ji}x_j x_i = D_{ij}x_i x_j + D_{ij}x_i x_j = 2D_{ij}x_i x_j.
Como cada par (i,j) e (j,i) aparece exatamente uma vez na soma completa, podemos reescrever a soma sobre i\neq j como o dobro da soma sobre os pares com i<j:
\sum_{\substack{i=1\\\ j\neq i}}^n D_{ij}x_i x_j = 2\sum_{1\le i<j\le n} D_{ij}x_i x_j.

Passo 5

Substituindo o resultado do Passo 4 na separação do Passo 3, obtemos a expressão final simplificada:
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n D_{ij}x_i x_j = \sum_{i=1}^n D_{ii}x_i^2 \;+\; 2\sum_{1\le i<j\le n} D_{ij}x_i x_j.
Interpretação: a soma dupla se transforma em soma dos termos quadráticos (diagonais) mais duas vezes a soma dos termos mistos com i<j.

Passo 6

Uma forma compacta (mais teórica) de escrever isso é usar vetores e matrizes. Se \mathbf{x} é o vetor com componentes x_i e D é a matriz com entradas D_{ij}, então a soma dupla é o produto quadrático
\mathbf{x}^\top D\,\mathbf{x},
e, quando D é simétrica, esse produto se expande exatamente na forma do Passo 5. Isso é útil na prova porque nos permite reconhecer polinômios quadráticos e formas bilineares.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (faça como checagem mental): para n=2 e
D=\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=(x_1,x_2),
temos
\sum_{i,j=1}^2 D_{ij}x_i x_j = a x_1^2 + 2b x_1 x_2 + c x_2^2,
que segue da fórmula com \sum_i D_{ii}x_i^2 = a x_1^2 + c x_2^2 e 2\sum_{i<j} D_{ij}x_i x_j = 2b x_1 x_2. Isso checa com a regra geral.

Resposta

\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n D_{ij}x_i x_j = \sum_{i=1}^n D_{ii}x_i^2 \;+\; 2\sum_{1\le i<j\le n} D_{ij}x_i x_j

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