11 Problema
Uma esfera de raio
possui densidade superficial de cargas:
. Calcule o potencial para as contribuições de monopolo, dipolo e quadrupolo.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera condutora de raio
com densidade de carga na superfície
e pede a contribuição ao potencial de monopolo, dipolo e quadrupolo. O conteúdo envolve expansão multipolar do potencial:
— Monopolo: e
.
— Dipolo: e para
— Monopolo:
— Dipolo:
— Quadrupolo:
e
.
Passo 2
Cálculo do monopolo:
Fazendo
,
.
Logo e
Logo
Passo 3
Cálculo do momento de dipolo
. Como a distribuição é axissimétrica em
,
Com
,
Portanto
Portanto
Para
,
Para
, o potencial dipolar interno é contínuo e vale
Passo 4
Cálculo do quadrupolo. A função
é proporcional a
, sem componente de ordem
. Logo todos os componentes
são nulos, e
Resposta
Monopolo:
Dipolo externo :
Dipolo externo
interno
:
Quadrupolo:
.