11 Problema

Uma esfera de raio R possui densidade superficial de cargas: \sigma_{0} \cos \theta. Calcule o potencial para as contribuições de monopolo, dipolo e quadrupolo.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de raio R com densidade de carga na superfície
\sigma(\theta)=\sigma_{0}\cos\theta
e pede a contribuição ao potencial de monopolo, dipolo e quadrupolo. O conteúdo envolve expansão multipolar do potencial:
— Monopolo: q=\displaystyle\int \sigma\,dA e \displaystyle\phi_{0}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}.
— Dipolo: \displaystyle\mathbf{p}=\int \sigma\,\mathbf{r}'\,dA e para r>R
\phi_{1}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
— Quadrupolo: Q_{ij}=\int \sigma\bigl(3x'_i x'_j-r'^{2}\delta_{ij}\bigr)dA e \phi_{2}(r,\theta)\propto 1/r^{3}.

Passo 2

Cálculo do monopolo:
q=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sigma_{0}\cos\theta\,(R^{2}\sin\theta)\,d\theta\,d\varphi =\sigma_{0}R^{2}(2\pi)\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Fazendo u=\cos\theta, \int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=-\int_{1}^{-1}u\,du=0.
Logo q=0 e
\phi_{0}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r}=0.

Passo 3

Cálculo do momento de dipolo \mathbf{p}. Como a distribuição é axissimétrica em z,
p_{z} = \int\sigma(\theta)\,R\,\cos\theta\,(R^{2}\sin\theta)\,d\theta\,d\varphi =\sigma_{0}R^{3}(2\pi)\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
Com u=\cos\theta, \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta =-\int_{1}^{-1}u^{2}\,du=\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=2/3.
Portanto
p_{z}=\frac{4\pi}{3}\,\sigma_{0}R^{3}, \quad \mathbf{p}=\frac{4\pi}{3}\sigma_{0}R^{3}\,\hat{\mathbf{z}}.
Para r>R,
\phi_{1}(r,\theta) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p_{z}\cos\theta}{r^{2}} =\frac{\sigma_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
Para r<R, o potencial dipolar interno é contínuo e vale
\phi_{1}^{\rm(in)}(r,\theta) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{p_{z}\,r\cos\theta}{R^{3}} =\frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r\cos\theta.

Passo 4

Cálculo do quadrupolo. A função \cos\theta é proporcional a P_{1}(\cos\theta), sem componente de ordem l=2. Logo todos os componentes Q_{ij} são nulos, e
\phi_{2}(r,\theta)=0.

Resposta

Monopolo: \displaystyle \phi_{0}(r)=0
Dipolo externo (r>R):
\phi_{1}(r,\theta) =\frac{\sigma_{0}R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\;\frac{\cos\theta}{r^{2}},
interno (r<R):
\phi_{1}^{\rm(in)}(r,\theta) =\frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}}\,r\cos\theta.
Quadrupolo: \displaystyle \phi_{2}(r,\theta)=0.

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