Calcular o momento de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de carga
\begin{aligned} \rho(\mathbf{r}) & = \begin{cases}\rho_{0}, & 0 \leq r \leq R \\\\ 0, & r>R\end{cases} \\\ \rho(\mathbf{r}) & = \begin{cases}\rho_{0} r^{2} \cos \theta, & 0 \leq r \leq R \\\\ 0, & r>R\end{cases} \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede o momento de monopolo (carga total), de dipolo e o tensor de quadrupolo para duas distribuições esféricas em coordenadas (r,\theta,\varphi). O conteúdo é a expansão multipolar em eletrostática, e vamos precisar das definições gerais desses momentos e de integrar em coordenadas esféricas, onde
Logo \mathbf{p} = \dfrac{2\pi}{9}\,\rho_0\,R^6\,\hat{\mathbf{z}}.
Quadrupolo: envolve \int\sin\theta\,(3\cos^2\theta-1)\,d\theta, que dá zero, portanto Q_{ij}=0.