8 Problema

Calcular o momento de monopolo, dipolo e quadrupolo para as seguintes distribuições de carga
\begin{aligned} \rho(\mathbf{r}) & = \begin{cases}\rho_{0}, & 0 \leq r \leq R \\\\ 0, & r>R\end{cases} \\\ \rho(\mathbf{r}) & = \begin{cases}\rho_{0} r^{2} \cos \theta, & 0 \leq r \leq R \\\\ 0, & r>R\end{cases} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o momento de monopolo (carga total), de dipolo e o tensor de quadrupolo para duas distribuições esféricas em coordenadas (r,\theta,\varphi). O conteúdo é a expansão multipolar em eletrostática, e vamos precisar das definições gerais desses momentos e de integrar em coordenadas esféricas, onde
d^3r = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 2

As definições que usaremos são
Q \;=\;\int \rho(\mathbf{r})\,d^3r,
\mathbf{p}\;=\;\int \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{r}\,d^3r,
Q_{ij}\;=\;\int \rho(\mathbf{r})\bigl(3\,x_i\,x_j - r^2\,\delta_{ij}\bigr)\,d^3r.
Por simetria esférica, muitas componentes vão se anular.

Passo 3

Para \rho(\mathbf{r})=\rho_0 para r\le R e zero fora, temos
Monopolo:
Q = \int_0^R \rho_0\,r^2dr\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi = \rho_0\cdot\frac{R^3}{3}\cdot(2)\cdot(2\pi) = \frac{4\pi}{3}\,\rho_0\,R^3.
Dipolo: por simetria radial \mathbf{p}=\mathbf{0}.
Quadrupolo: a densidade é isotrópica, logo \,Q_{ij}=0 para todos i,j.

Passo 4

Para \rho(\mathbf{r})=\rho_0\,r^2\cos\theta para r\le R e zero fora, começamos pelo monopolo:
Q = \rho_0\int_0^R r^2\!r^2dr\int_0^\pi\sin\theta\cos\theta\,d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi \propto \int_0^\pi\sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0,
logo Q=0.
Dipolo: só a componente z é não nula,
p_z = \rho_0\int_0^R r^2\!r\;r^2dr\int_0^\pi\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi = \rho_0\cdot\frac{R^6}{6}\cdot\frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{9}\,\rho_0\,R^6.
Logo \mathbf{p} = \dfrac{2\pi}{9}\,\rho_0\,R^6\,\hat{\mathbf{z}}.
Quadrupolo: envolve \int\sin\theta\,(3\cos^2\theta-1)\,d\theta, que dá zero, portanto Q_{ij}=0.

Resposta

Para \rho=\rho_0 uniformemente no raio R:
Q = \frac{4\pi}{3}\,\rho_0\,R^3,\quad \mathbf{p}=\mathbf{0},\quad Q_{ij}=0.
Para \rho=\rho_0\,r^2\cos\theta no raio R:
Q=0,\quad \mathbf{p}=\frac{2\pi}{9}\,\rho_0\,R^6\,\hat{\mathbf{z}},\quad Q_{ij}=0.

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