7 Problema

Um elipsoide definido pela equação:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1
tem uma carga Q definida uniformemente através do seu volume. Determine o tensor de quadrupolo associado ao elipsoide.

Passo 1

O enunciado pede o tensor de quadrupolo de um elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1
com carga total Q distribuída uniformemente no volume.
Conteúdo: momento de quadrupolo elétrico.
Para resolver, precisamos de (1) densidade volumétrica \rho, (2) definição do tensor Q_{ij} e (3) integrais de x^{2}, y^{2}, z^{2} sobre o volume do elipsoide.

Passo 2

A densidade volumétrica uniforme é
\rho = \frac{Q}{\text{Volume do elipsoide}}
e o volume do elipsoide é
V = \frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c.
Logo,
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi\,a\,b\,c} = \frac{3Q}{4\pi\,a\,b\,c}.

Passo 3

Adotamos a definição traceless do tensor de quadrupolo elétrico:
Q_{ij} = \int \bigl(3\,x_{i}x_{j} - r^{2}\,\delta_{ij}\bigr)\,\rho\,\mathrm{d}V,
onde r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 4

Pela simetria do elipsoide em relação aos eixos coordenados, todos os termos cruzados se anulam:
Q_{ij}=0\quad\text{para }i\neq j.

Passo 5

Para os elementos diagonais, usamos que, em um elipsoide com densidade uniforme,
\int x^{2}\,\mathrm{d}V = \frac{1}{5}\,a^{2}\,V,\quad \int y^{2}\,\mathrm{d}V = \frac{1}{5}\,b^{2}\,V,\quad \int z^{2}\,\mathrm{d}V = \frac{1}{5}\,c^{2}\,V.
Além disso,
\int r^{2}\,\mathrm{d}V = \int (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm{d}V = \frac{1}{5}\,(a^{2}+b^{2}+c^{2})\,V.

Passo 6

Calculamos Q_{xx}:
Q_{xx} = \rho\Bigl[3\!\int x^{2}\mathrm{d}V \;-\!\int r^{2}\mathrm{d}V\Bigr] = \rho\Bigl[3\cdot\frac{1}{5}a^{2}V - \frac{1}{5}(a^{2}+b^{2}+c^{2})V\Bigr] = \rho\,\frac{V}{5}\,(2a^{2}-b^{2}-c^{2}).
Como \rho\,V = Q, segue
Q_{xx} = \frac{Q}{5}\,\bigl(2a^{2}-b^{2}-c^{2}\bigr).
Analogamente,
Q_{yy} = \frac{Q}{5}\,\bigl(2b^{2}-a^{2}-c^{2}\bigr), \quad Q_{zz} = \frac{Q}{5}\,\bigl(2c^{2}-a^{2}-b^{2}\bigr).

Resposta

O tensor de quadrupolo é diagonal, com componentes
Q_{ij} = 0\quad(i\neq j), \qquad Q_{xx} = \frac{Q}{5}(2a^{2}-b^{2}-c^{2}),
Q_{yy} = \frac{Q}{5}(2b^{2}-a^{2}-c^{2}), \qquad Q_{zz} = \frac{Q}{5}(2c^{2}-a^{2}-b^{2}).

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