7 Problema
Um elipsoide definido pela equação:
tem uma carga
definida uniformemente através do seu volume. Determine o tensor de quadrupolo associado ao elipsoide.
Passo 1
O enunciado pede o tensor de quadrupolo de um elipsoide
com carga total
distribuída uniformemente no volume.
Conteúdo: momento de quadrupolo elétrico.
Para resolver, precisamos de (1) densidade volumétrica , (2) definição do tensor
e (3) integrais de
,
,
sobre o volume do elipsoide.
Conteúdo: momento de quadrupolo elétrico.
Para resolver, precisamos de (1) densidade volumétrica
Passo 2
A densidade volumétrica uniforme é
e o volume do elipsoide é
Logo,
Passo 3
Adotamos a definição traceless do tensor de quadrupolo elétrico:
onde
e
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Pela simetria do elipsoide em relação aos eixos coordenados, todos os termos cruzados se anulam:
Passo 5
Para os elementos diagonais, usamos que, em um elipsoide com densidade uniforme,
Além disso,
Passo 6
Calculamos
:
Como
, segue
Analogamente,
Resposta
O tensor de quadrupolo é diagonal, com componentes