11- Prove que a curva cujo coeficiente angular da tangente a cada ponto é proporcional à abcissa no ponto de tangência, é uma parábola. Resp:
.
Passo 1
O enunciado diz que uma curva
tem o coeficiente angular da tangente em cada ponto proporcional à abcissa
. Em cálculo, o coeficiente angular da tangente é a derivada
. Logo, vamos formular e resolver uma equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis.
Passo 2
A proporcionalidade entre a derivada e
é
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Para resolver, separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
sendo
a constante de integração.
Passo 5
Basta definir
para escrever a equação na forma clássica de parábola: