11- Prove que a curva cujo coeficiente angular da tangente a cada ponto é proporcional à abcissa no ponto de tangência, é uma parábola. Resp: y=a x^2+C.

Passo 1

O enunciado diz que uma curva y=y(x) tem o coeficiente angular da tangente em cada ponto proporcional à abcissa x. Em cálculo, o coeficiente angular da tangente é a derivada dydx. Logo, vamos formular e resolver uma equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis.

Passo 2

A proporcionalidade entre a derivada e x é
dydx = k,x,
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Para resolver, separamos variáveis:
dy = k,x,dx
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

integral dy = integral k,x,dx Longrightarrow y = k2,x^2 + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 5

Basta definir a=tfrack2 para escrever a equação na forma clássica de parábola:
y = a,x^2 + C

Resposta

y = a,x^2 + C

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