Ache a solução geral da equação diferencial dada.
x y^prime+(1+x) y=e^-x sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y'(x)+(1+x),y(x)=e^-xsin2x
Isso é uma equação de primeira ordem, linear em y. Vamos usar o método do fator integrante: primeiro colocamos na forma
y'+P(x),y=Q(x),
depois achamos o fator integrante mu(x) e integramos.

Passo 2

Dividimos tudo por x (supondo xneq0) para obter
y'+1+xx,y=e^-xx,sin2x
Aqui
P(x)=1+1x, Q(x)=e^-xx,sin2x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integrall(1+tfrac1xr)dxr) =expl(x+ln|x|r) =x,e^x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x e^x obtemos
x e^x y'+(1+x)e^x y =sin2x,
e o lado esquerdo é exatamente
ddxl(x e^x yr) =sin2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x e^x y=integral sin2x,dx =-tfrac12cos2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, dividimos por x e^x:
y(x) =-tfrac12cos2x + Cx e^x =Ce^-xx-e^-x2x,cos2x

Resposta

y(x)=C,e^-xx-e^-x2x,cos2x,
onde C é constante arbitrária.

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