8- Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional á quantidade presente. Inicialmente, há 300 fileiras de bactérias; após duas horas, esse número aumentou em
. Determine:
(a)A expressão do número aproximado de fileiras na cultura no instante
.
(b)O tempo necessário para a duplicação do número original. Resp(b)7, 6h.
(a)A expressão do número aproximado de fileiras na cultura no instante
(b)O tempo necessário para a duplicação do número original. Resp(b)7, 6h.
Passo 1
O enunciado diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente há
fileiras e, após
horas, esse número aumenta em
. O conteúdo que vamos usar é a equação diferencial de crescimento exponencial
, onde
é a constante de proporcionalidade. Precisamos achar a expressão
e o tempo de duplicação.
Passo 2
Modelamos o crescimento por
onde
é o número de fileiras no tempo
e
é a constante de crescimento.
Passo 3
A solução geral dessa equação é
Como
, temos
. Para determinar
, usamos o dado: em
horas,
. Logo,
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Passo 5
Para achar o tempo de duplicação
, impomos
. Assim,
Resposta
(a)
(b) horas.
(b)