8- Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional á quantidade presente. Inicialmente, há 300 fileiras de bactérias; após duas horas, esse número aumentou em 20 %. Determine:
(a)A expressão do número aproximado de fileiras na cultura no instante t.
(b)O tempo necessário para a duplicação do número original. Resp(b)7, 6h.

Passo 1

O enunciado diz que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente há 300 fileiras e, após 2 horas, esse número aumenta em 20%. O conteúdo que vamos usar é a equação diferencial de crescimento exponencial tfracdNdt=kN, onde k é a constante de proporcionalidade. Precisamos achar a expressão N(t) e o tempo de duplicação.

Passo 2

Modelamos o crescimento por
dNdt = k,N,
onde N(t) é o número de fileiras no tempo t e k é a constante de crescimento.

Passo 3

A solução geral dessa equação é
N(t) = N(0),e^kt
Como N(0)=300, temos N(t)=300e^kt. Para determinar k, usamos o dado: em t=2 horas, N(2)=300times1,2=360. Logo,
360 = 300e^2k Longrightarrow e^2k=1,2 Longrightarrow k = 12ln(1,2)

Passo 4

Substituindo k em N(t)=300e^kt, obtemos
N(t) = 300exp!l(t,ln(1,2)2r)

Passo 5

Para achar o tempo de duplicação T, impomos N(T)=2N(0)=600. Assim,
600 = 300e^kT Longrightarrow e^kT=2 Longrightarrow T = ln(2)k = 2ln(2)ln(1,2) approx 7,6 horas

Resposta

(a) N(t)=300exp!l(tfractln(1,2)2r)
(b) T=dfrac2ln(2)ln(1,2)approx7,6 horas.

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