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Prove que
1(2 j-1)^x-1(2 j)^x <= x(2 j-1)^x+1
para cada j >= 1 e x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para cada inteiro j>=1 e cada real x>0, vale a desigualdade
1(2j-1)^x-1(2j)^x<=x(2j-1)^x+1
Vamos usar teorema do valor médio ou convexidade de uma função adequada.

Passo 2

Definimos a função fcolon(0,infty)to(0,infty) por
f(t)=t^-x
Calculamos as derivadas para estudar monotonicidade e convexidade:
f'(t)=-x,t^-(x+1),
f''(t)=x(x+1),t^-(x+2)>0
Portanto f é estritamente decrescente (pois f'<0) e convexa (pois f''>0).

Passo 3

Pela propriedade de funções convexas, o gráfico de f fica acima de sua reta tangente. Em particular, tomando a=2j-1 e b=2j, temos
f(b)>= f(a)+f'(a)(b-a)
Substituindo, obtemos
f(2j)>= f(2j-1)+f'(2j-1)cdot1
1(2j)^x>=1(2j-1)^x+l(-x(2j-1)^-(x+1)r)

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade anterior, isolamos a diferença desejada:
1(2j-1)^x-1(2j)^x<= x(2j-1)^-(x+1)
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Para cada inteiro j>=1 e todo x>0 vale
1(2j-1)^x-1(2j)^x<=x(2j-1)^x+1

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