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Prove que
para cada
e
.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para cada inteiro
e cada real
, vale a desigualdade
Vamos usar teorema do valor médio ou convexidade de uma função adequada.
Passo 2
Definimos a função
por
Calculamos as derivadas para estudar monotonicidade e convexidade:
Portanto
é estritamente decrescente (pois
) e convexa (pois
).
Passo 3
Pela propriedade de funções convexas, o gráfico de
fica acima de sua reta tangente. Em particular, tomando
e
, temos
Substituindo, obtemos
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade anterior, isolamos a diferença desejada:
que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Para cada inteiro
e todo
vale