Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(o)
.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(o)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função f(x)=\frac{\sin x}{x} usando técnicas de Cálculo Diferencial: achar onde cresce/decresce, concavidade e pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro vamos ao estudo da monotonicidade. O domínio natural de f é
, mas podemos estendê-la por continuidade em x=0 definindo f(0)=1. Calculamos
Passo 3
Como
para todo x≠0, o sinal de f’ vem de
. As raízes de g satisfazem
$$x\cos x-\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad\tan x=x.
$$
Passo 4
Denotando por
,
, … as soluções positivas de
, obtemos para x>0:
- f’(x)<0 em
, f’(x)>0 em , f’(x)<0 em , etc.
E, como f é par, o mesmo comportamento vale em x<0 de modo simétrico.
Passo 5
Em seguida estudamos a concavidade. Derivando de novo:
$$f’’(x)=\frac{-x^2\sin x-2x\cos x+2\sin x}{x^3}.
$$
Passo 6
Chamando
os pontos de inflexão satisfazem h(x)=0. As primeiras soluções positivas são aproximadamente
Logo, sobre x>0
* f’’(x)<0 (côncava para baixo) em
* f’’(x)>0 (côncava para cima) em
E novamente, por paridade, o mesmo para x<0.
Passo 7
Para montar o esboço, colhemos ainda:
- f(0)=1 (extensão por continuidade), f(k\pi)=0 para todo k∈ℤ≠0;
- limites em infinito:
; - pontos críticos: em x=±\alpha_n temos extremos locais (máximos quando f’(x)>0 passa a <0 e mínimos no sentido inverso).
Com esses dados, desenha-se a clássica e amortecida “sinc”: oscilações de sinal alternado com amplitude decrescente ~1/|x|, zeros em kπ, extremos em x=±α_n e inflexões em x=±β_n.
Resposta
Para x>0 temos:
Cresce em (\alpha_1,\alpha_2), (\alpha_3,\alpha_4), …
Decresce em (0,\alpha_1), (\alpha_2,\alpha_3), …
onde \alpha_n são as soluções positivas de \tan x=x (\alpha_1≈4,493, \alpha_2≈7,725,…). Por paridade, mesmo padrão em x<0.
Cresce em (\alpha_1,\alpha_2), (\alpha_3,\alpha_4), …
Decresce em (0,\alpha_1), (\alpha_2,\alpha_3), …
onde \alpha_n são as soluções positivas de \tan x=x (\alpha_1≈4,493, \alpha_2≈7,725,…). Por paridade, mesmo padrão em x<0.
Concavidade: f’’(x)=(-x^2\sin x–2x\cos x+2\sin x)/x^3, muda de sinal nas soluções \beta_n de –x^2\sin x–2x\cos x+2\sin x=0 (\beta_1≈2,08, \beta_2≈5,28,…). Logo, f é côncava para baixo em (0,\beta_1), (\beta_2,\beta_3),… e côncava para cima em (\beta_1,\beta_2),…. Mesmo para x<0 por paridade.
Pontos de inflexão: x=±\beta_n.
Gráfico: oscilações amortecidas de amplitude ~1/|x|, zero em x=k\pi, extremo local em x=±\alpha_n, inflexões em x=±\beta_n, e f(0)=1.